אריתמטיקה של גבולות

Gilad · 15 באוקטובר,‏ 2019,‏ 8:48pm

אם הינך שואל מתי נכון להשתמש בנוסחה הבאה:

\lim_{n\to\infty}a_nb_n= \Bigl(\lim_{n\to\infty}a_n\Bigr) \Bigl(\lim_{n\to\infty}b_n\Bigr) \tag{*}

אז התשובה “השטוחה” היא שניתן להשתמש בה אם שני הגבולות מצד שמאל מתכנסים, כלומר קיימים a,b\in\mathbb{R} עבורם \lim_{n\to\infty} a_n=a ו-\lim_{n\to\infty} b_n=b. אם אחד הגבולות מתבדר אזי בכלל לא ניתן לכתוב את המשוואה (*) ולכן אין משמעות לנוסחה.
עם זאת, ניתן להרחיב את הטענה - אם אחד הגבולות מתכנס והשני מתבדר אזי התוצאה שלהם מתבדרת. במילים אחרות, אם \lim_{n\to\infty}b_n=c>0 וגם \lim_{n\to\infty}a_n=\infty, אזי מתקיים \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty. באופן דומה, הטענה תקפה אם c<0 והתוצאה הינה כמובן מינוס אינסוף.
ההוכחה של הטענה היא פשוטה ביותר. מאחר ומתקיים \lim_{n\to\infty}b_n=c>0 נוכל להסיק כי קיים N_0 כך שלכל n>N_0 מתקיים b_n>\frac{c}{2}. עתה, ניקח M>0. מאחר ומתקיים \lim_{n\to\infty}a_n=\infty נובע כי קיים N כך שלכל N>N_0 וגם לכל n>N מתקיים a_n>2M/c. עבור n>N נקבל:

a_nb_n>\frac{2M}{c}\frac{c}{2}=M

לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

\lim_{n\to\infty}n=\infty \qquad \lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{n}=1

מכך נקבל:

\lim_{n\to\infty}n\cos\frac{1}{n}=\infty

כך הוכחנו את הטענה שהוצגה.
שים לב כי הטענה אינה תקפה כאשר \lim_{n\to\infty}a_n=\infty וגם \lim_{n\to\infty}b_n=0.
מקווה שמובן