הוכחת סדרה מתכנסת המוגדרת על-ידי נוסחת נסיגה

Zeta · 19 בדצמבר,‏ 2019,‏ 7:29pm

שלום @Psysion וברוך הבא לפורום SolX.
כדי להוכיח שסדרה המוגדרת על-ידי כלל נסיגה הינה מתכנסת, עלינו להשתמש במשפט הבא:

סדרה מונוטונית וגם חסומה הינה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

לכן, כדי להוכיח שהסדרה a_n הינה מתכנסת, עלינו להוכיח כי היא מונוטונית וחסומה.

נוכיח כי הסדרה חסומה מלרע על-ידי אפס, כלומר נראה כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים a_n\geq 0.
בסיס האינדוקציה (n=1) - נתון כי תנאי ההתחלה הינו a_1=0 ולכן התנאי מתקיים.
הנחת האינדוקציה - נניח את נכונות הטענה עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים a_{n}\geq 0.
צעד האינדוקציה - נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נוכיח כי מתקיים a_{n+1}\geq 0.
נשים לב כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:

a_{n+1}=\frac{1}{4(1-a_n)}

ע"פ הנחת האינדוקציה נוכל להסיק כי מתקיים a_n\geq 0 ולכן -a_n\leq 0, כלומר 1-a_n\leq 1, משמע 4(1-a_n)\leq 4. סה"כ נקבל:

\frac{1}{4(1-a_n)}\geq \frac{1}{4}\geq 0 \Rightarrow a_{n+1}\geq 0

הוכחנו כי הסדרה חסומה מלרע על-ידי אפס.

נוכיח כי הסדרה חסומה מלרע על-ידי חצי, כלומר נראה כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים a_n\leq \frac{1}{2}.
בסיס האינדוקציה (n=1) - נתון כי תנאי ההתחלה הינו a_1=0 ולכן התנאי מתקיים.
הנחת האינדוקציה - נניח את נכונות הטענה עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים a_{n}\leq \frac{1}{2}.
צעד האינדוקציה - נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נוכיח כי מתקיים a_{n+1}\leq \frac{1}{2}.
נשים לב כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:

a_{n+1}=\frac{1}{4(1-a_n)}

ע"פ הנחת האינדוקציה נוכל להסיק כי מתקיים a_n\leq \frac{1}{2} ולכן -a_n\geq -\frac{1}{2}, כלומר 1-a_n\geq \frac{1}{2}, משמע 4(1-a_n)\geq 2. סה"כ נקבל:

\frac{1}{4(1-a_n)}\leq \frac{1}{2} \Rightarrow a_{n+1}\leq \frac{1}{2}

הוכחנו כי הסדרה חסומה מלעל על-ידי חצי. סה"כ קיבלנו כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:

0\leq a_n\leq \frac{1}{2}

נראה כי לכל n\in\mathbb{N} , הסדרה מונוטונית עולה.
לשם כך, נוכיח באינדוקציה כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים a_{n+1}-a_{n}\geq 0.
בסיס האינדוקציה (n=1) - נרצה לבדוק האם אכן מתקיים a_{2}-a_{1}\geq 0. נחשב את a_2:

a_2=\frac{1}{4(1-a_1)}=\frac{1}{4(1-0)}=\frac{1}{4}

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים:

a_{2}-a_{1}=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}\geq 0

הנחת האינדוקציה - נניח את נכונות הטענה עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים:

a_{n+1}-a_{n}\geq 0

צעד האינדוקציה - נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נוכיח כי מתקיים:

a_{n+2}-a_{n+1}\geq 0

נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} a_{n+2}-a_{n+1}&=\frac{1}{4(1-a_{n+1})}-\frac{1}{4(1-a_{n})}\\ & =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_{n}}\right)\\&=\frac{(1-a_n)-(1-a_{n+1})}{4(1-a_{n+1})(1-a_n)}\\&=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{4(1-a_{n+1})(1-a_{n})} \end{align*}

הראנו כי לכל n\in\mathbb{N}, הסדרה חסומה מלעיל על-ידי חצי, כלומר a_n\leq \frac{1}{2} לכן 1-a_n\geq \frac{1}{2} משמע 1-a_n\geq 0 לכל n\in\mathbb{N} (בפרט a_{n+1}\geq 0). לפיכך נובע כי המכנה של הביטוי הקודם שקיבלנו הוא חיובי לכל n\in\mathbb{N}. כמו כן, ע"פ הנחת האינדוקציה נובע a_{n+1}-a_{n}\geq 0 ולכן גם המונה של הביטוי הקודם שקיבלנו הוא חיובי לכל n\in\mathbb{N}. סה"כ נוכל להסיק כי כל הביטוי חיובי לכל n\in\mathbb{N}, משמע a_{n+2}-a_{n+1}\geq 0.
קיבלנו כי הסדרה מונוטונית עולה. לכן ע"פ המשפט שתואר בהתחלה נובע כי הסדרה מתכנסת.
נגדיר את גבול הסדרה a_n להיות L. לכן נקבל:

\lim_{n\to\infty}a_n=L \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=L

סה"כ, נוכל להסיק כי מתקיים:

\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4(1-a_n)}\right) \Rightarrow L=\frac{1}{4(1-L)}

נעביר אגפים ונקבל:

4L(1-L)=1 \Rightarrow 4L^2-4L+1=0 \Rightarrow (2L-1)^2=0

כלומר L=0.5.
בהצלחה