נגדיר את הסדרה הבאה:
a_n=\frac{(-4)^n+2(-2)^n+3}{(-5)^n+2(-3)^n+3}
נרצה לחשב את הגבול \lim_{n\to\infty} a_n.
נוציא מהמונה של הסדרה את הגורם (-4)^n ומהמכנה את הגורם (-5)^n כך שנקבל:
\begin{align*}
a_{n}&=\frac{(-4)^{n}+2(-2)^{n}+3}{(-5)^{n}+2(-3)^{n}+3}=\frac{(-4)^{n}}{(-5)^{n}}\cdot\left(\frac{1+2\frac{(-2)^{n}}{(-4)^{n}}+3\frac{1}{(-4)^{n}}}{1+2\frac{(-3)^{n}}{(-5)^{n}}+3\frac{1}{(-5)^{n}}}\right)\\&=\left(\frac{4}{5}\right)^{n}\cdot\left(\frac{1+2\frac{(-2)^{n}}{(-4)^{n}}+3\frac{1}{(-4)^{n}}}{1+2\frac{(-3)^{n}}{(-5)^{n}}+3\frac{1}{(-5)^{n}}}\right)
\end{align*}
נגדיר את הסדרה הבאה:
b_{n}=\frac{1+2\frac{(-2)^{n}}{(-4)^{n}}+3\frac{1}{(-4)^{n}}}{1+2\frac{(-3)^{n}}{(-5)^{n}}+3\frac{1}{(-5)^{n}}}
נפשט את הסדרה:
b_{n}=\frac{1+2\frac{(-2)^{n}}{(-4)^{n}}+3\frac{1}{(-4)^{n}}}{1+2\frac{(-3)^{n}}{(-5)^{n}}+3\frac{1}{(-5)^{n}}}=\frac{1+2\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{3}{4^{n}}(-1)^{n}}{1+2\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\frac{3}{5^{n}}(-1)^{n}}
כל הגבולות של הסדרות שמרכיבות את הסדרה b_n שואפות לאפס. כך לדוגמה מתקיים:
\lim_{n\to\infty} (-1)^n\frac{1}{5^n}=0, \, \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n}=0
לכן נוכל להסיק כי הגבול של הסדרה b_n הוא:
\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+2\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{3}{4^{n}}(-1)^{n}}{1+2\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\frac{3}{5^{n}}(-1)^{n}}=\frac{1+2\cdot0+3\cdot0}{1+2\cdot0+3\cdot0}=1
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^{n}=0
סה"כ נוכל להסיק כי מתקיים:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(-4)^{n}+2(-2)^{n}+3}{(-5)^{n}+2(-3)^{n}+3}=0\cdot1=0
בפרט, כל הגבולות החלקיים של הסדרה a_n שואפים לאפס.
שים לב כי אפשר כנראה למצוא הגבולות החלקיים על-ידי חלוקה של n לזוגיים ולאי-זוגיים אבל מאחר ובמקרה זה מדובר באותן גבולות נובע כי ניתן פשוט למצוא את הגבול הכולל שכן זהו מקרה הרבה יותר פשוט.
מקווה שמובן, בהצלחה 