שימוש במשפט תאלס במעוין

Zeta · 25 בדצמבר,‏ 2019,‏ 4:26pm

שלום @Nu.nik, ברוך הבא לפורום SolX.
אנא קרא את חוקי הקטגוריה “מתמטיקה”. כל פוסט צריך להכיל שאלה קונקרטית אחת. אם אתה מעוניין לשאול את שתי השאלות הנוספות, אתה מוזמן לפרסם פוסט חדש ולהסביר בו מה ניסית לעשות . כמו כן, אנו מעדיפים שתעתיק את הטקסט של השאלה כדי שבעתיד יהיה יותר קל לחפש (באותה צורה כמו שערכתי בשבילך את הפוסט).

לגבי התרגיל:
ע"פ הנתון מתקיים \frac{BG}{CG}=\frac{AB}{DE}. ע"פ סעיף ב’ מתקיים \frac{BG}{CG}=\frac{CD}{DE} ולכן נקבל \frac{AB}{DE}=\frac{CD}{DE}. שים לב כי במכנה של שני השברים בשני הצדדים קיים אותו גורם DE ולכן נקבל AB=CD, כלומר המרובע ABCD הוא למעשה ריבוע שכן בריבוע כל הצלעות שוות.
נגדיר DC=x. לכן AB=x. אורך הצלע CE הוא 64 ס"מ ולכן ED=64-x. אורך הצלע FD הוא 15 ס"מ ולכן AF=x-15.
בריבוע הצלעות הנגדיות מקבילות ולכן הצלע AB מקבילה לצלע DC. מאחר והצלע ED הוא המשך של הצלע DC נובע כי הצלע AB מקבילה צלע ED. ע"פ הרחבה שנייה של משפט תאלס נובע:

\frac{AB}{DE}=\frac{AF}{FD}\Rightarrow\frac{x}{64-x}=\frac{x-15}{15}\Rightarrow x^2-64x+960=0

למשוואה הריבועית הנ"ל קיימים שני פתרונות x_1=24 ו-x_2=40.
אם x=24 אז נקבל CD=24cm וגם DE=40cm וזאת בסתירה לנתון DE<CD. לכן בהכרח x=40, כלומר CD=40cm וגם DE=24cm. כך קיבלנו ריבוע ABCD שבו כל צלע באורך 40 ס"מ. בפרט, אורך הצלע BC הוא 40 ס"מ.
נגדיר BG=y ולכן CG=40-y. ע"פ סעיף ב’ מתקיים \frac{BG}{CG}=\frac{CD}{DE} לכן נקבל:

\frac{BG}{CG}=\frac{CD}{DE}\Rightarrow \frac{y}{40-y}=\frac{40}{24} \Rightarrow y=25

קיבלנו כי אורך הצלע BG הוא 25 ס"מ ואורך הצלע CG הוא 40-25=15 ס"מ.
ע"פ סעיף א’ הצלע FG מקבילה לצלע CE ולכן ע"פ הרחבה ראשונה של משפט תאלס מתקיים:

\frac{BG}{BC}=\frac{FG}{EC}\Rightarrow \frac{25}{40}=\frac{FG}{64} \Rightarrow FG=40cm

כלומר אורך הצלע המבוקשת FG הוא 40 ס"מ.
מקווה שמובן, בהצלחה