הוכחת רציפות של פונקציה

Gilad · 8 בינואר,‏ 2020,‏ 4:07pm

תהי f\:,\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} פונקציה. נניח כי קיים c>0 המקיים |f(x)-f(y)|\leq c\cdot |x-y| לכל x\in\mathbb{Q} ולכל y\in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}. נוכיח כי הפונקציה f רציפה.
יהיו x,y שני מספרים ממשיים. x ו-y יכולים להיות שניהם רציונליים, שניהם אי-רציונליים או אחד רציונלי ואחד אי-רציונלי. אם שניהם מספרים אי-רציונליים אז נניח בלי הגבלת הכלליות כי מתקיים x<y. לכן קיים מספר רציונלי z המקיים x<z<y. לפיכך ע"פ אי-שוויון המשולש נקבל:

\begin{align*} |f(x)-f(y)|&=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|\\ & \leq |f(x) - f(z)| + |f(z) - f(y)|\\ & \leq c\cdot |x - z| + c\cdot|z - y|\\ & = c\cdot |x-y| \end{align*}

אם x ו-y שניהם מספרים רציונליים אז נניח בלי הגבלת הכלליות כי מתקיים x<y. לכן קיים מספר אי-רציונלי z המקיים x<z<y. נשתמש שוב באי-שוויון המשולש כדי לקבל את האי-שוויון הבא (כמו קודם):

|f(x)-f(y)|\leq c\cdot |x-y|

אם אחד מבין שני המספרים x ו-y הוא מספר רציונלי (והשני אי-רציונלי) אז על פי הנתון, נוכל להסיק כי מתקיים |f(x)-f(y)|\leq c\cdot |x-y| עבור c>0.
הראנו כי לכל x,y\in\mathbb{R} מתקיים |f(x)-f(y)|\leq c\cdot |x-y| עבור c>0.
יהי \epsilon > 0. נבחר \delta = \epsilon / c. לכן, לכל x,y\in\mathbb{R} המקיימים |x-y| < \delta מתקיים:

|f(x) - f(y)| \leq c\cdot |x-y| < c\delta = c\frac{\epsilon}{c} = \epsilon

לכן, נוכל להסיק כי הפונקציה f רציפה. למעשה, היא רציפה במידה שווה שכן היא לא תלויה ב-x או ב-y.
בהצלחה