שלום לכולם, אני מנסה לחשב את הגבול הבא ללא שימוש בלופיטל:
\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{1-x}
אשמח להכוונה כיצד להגיע לתשובה הסופית.
לפי מה שאני מבין, אמור לצאת פאי.
כיצד אני מגיע לתשובה זו?
תודה רבה על העזרה!
לכל x ממשי מתקיים:
\sin \pi x = \sin (\pi(x-1) + \pi) = - \sin (\pi(x-1))
הרעיון הוא לבצע החלפת משתנים, כלומר h=1-x ולהשתמש בזהות \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
לכן נקבל:
\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{1-x}&= -\lim_{x \to 1}\frac{\sin (\pi(x-1))}{1-x} =\lim_{x \to 1}\frac{\sin (\pi(x-1))}{x-1} \\ &=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\pi h)}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{\pi \sin (\pi h)}{\pi h} =\pi
\end{align*}
לכן הגבול הוא אכן פאי.
בהצלחה 