מציאת נקודות קיצון של פונקציה בתחומים

Ben · 25 בינואר,‏ 2020,‏ 12:15am

שלום @Saareli וברוך הבא לפורום SolX. הרעיון בפורום הוא להכיוון אותך אל הפתרון ולא לפתור לך את שיעורי הבית. אז אנא ממך, בשאלות הבאות (ובשאלה המקבילה ששאלת) תוסיף מה ניסית לעשות ואיפה בדיוק נתקעת כדי שנוכל לסייע לך מבלי לתת לך את התשובה.

נתבונן על הפונקציה:

f(x)=\begin{cases} \frac{(x-4)^{3}}{27(x-2)^{2}} & -4\leq x\leq1\\ \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{3}-\frac{4x}{3}} & 1\leq x\leq5 \end{cases}

תחילה, נתבונן על התחום -4\leq x\leq 1. תחום הגדרה של הפונקציה \frac{(x-4)^{3}}{27(x-2)^{2}} הוא x\neq 2 ולכן הפונקציה f(x) מוגדרת, רציפה וגזירה בכל התחום -4\leq x\leq 1. לכן נקבל:

\begin{align*} f'(x)&=\frac{3(x-4)^{2}\cdot27(x-2)^{2}-(x-4)^{3}27\cdot2(x-2)}{\left(27(x-2)^{2}\right)^{2}}\\&=\frac{27(x-2)(x-4)^{2}\left(3(x-2)-2(x-4)\right)}{\left(27(x-2)^{2}\right)^{2}}=\frac{(x-4)^{2}(x+2)}{27(x-2)^{3}} \end{align*}

נמצא את הנקודות החשודות לקיצון:

f'(x)=0\Leftrightarrow\frac{(x-4)^{2}(x+2)}{27(x-2)^{3}}=0\Leftrightarrow(x-4)^{2}(x+2)=0

לכן הנקודות החשודות לקיצון הן x_{1}=4 ו-x_{2}=-2. נשים לב כי הנקודה x=4 אינה בתחום -4\leq x\leq 1 ולכן מתבטלת. נשים לב כי מתקיים:

\begin{cases} f(-3)=\frac{(-3-4)^{2}(-3+2)}{27(-3-2)^{3}}>0\\ f(-1)=\frac{(-1-4)^{2}(-1+2)}{27(-1-2)^{3}}<0 \end{cases}

לכן, נוכל להסיק כי הנקודה x=-2 היא נקודת קיצון מקומי מסוג מקסימום. נמצא את השיעור האנכי של הנקודה x=-2:

f(-2)=\frac{(-2-4)^{3}}{27(-2-2)^{2}}=-\frac{1}{2}

כלומר הנקודה \left(-2,-\frac{1}{2}\right) היא נקודת קיצון מקומי מסוג מקסימום.
גם נקודת הקצה x=-4 היא נקודת קיצון מקומי מסוג מינימום. נמצא את השיעור האנכי של הנקודה x=-4:

f(-4)=\frac{(-4-4)^{3}}{27(-4-2)^{2}}=-\frac{128}{243}

כלומר הנקודה \left(-4,-\frac{128}{243}\right) היא נקודת קיצון מקומי מסוג מינימום.
את הנקודה x=1 נחקור בהמשך.

עתה, נעבור לתחום 1\leq x\leq 5. תחום הגדרה של הפונקציה \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{3}-\frac{4x}{3}} הוא לכל x ממשי ולכן הפונקציה f(x) מוגדרת, רציפה וגזירה בכל התחום 1\leq x\leq 5. לכן נקבל:

f'(x)=\frac{\frac{2x}{3}-\frac{4}{3}}{3\left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{4x}{3}\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{3^{\frac{2}{3}}(2x-4)}{9(x^{2}-4x)^{\frac{2}{3}}}

נמצא את הנקודות החשודות לקיצון:

f'(x)=0\Leftrightarrow\frac{3^{\frac{2}{3}}(2x-4)}{9(x^{2}-4x)^{\frac{2}{3}}}=0\Leftrightarrow2x-4=0\Leftrightarrow x=2

הנקודה x=2 אכן נמצאת בתחום 1\leq x\leq 5 לכן נבדוק אם היא אכן נקודה לקיצון:

\begin{cases} f(1)=\frac{3^{\frac{2}{3}}(2\cdot1-4)}{9(1^{2}-4\cdot1)^{\frac{2}{3}}}<0\\ f(3)=\frac{3^{\frac{2}{3}}(2\cdot3-4)}{9(3^{2}-4\cdot3)^{\frac{2}{3}}}>0 \end{cases}

קיבלנו כי הנקודה x=2 היא נקודת קיצון מקומי מסוג מינימום. נמצא את השיעור האנכי של הנקודה x=2:

f(2)=\sqrt[3]{\frac{2^{2}}{3}-\frac{4\cdot2}{3}}=-\frac{2^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{3}}

כלומר הנקודה \left(2,-\frac{2^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{3}}\right) היא נקודת קיצון מקומי מסוג מינימום.
גם נקודת הקצה x=5 היא נקודת קיצון מקומי מסוג מקסימום. נמצא את השיעור האנכי של הנקודה x=5:

f(5)=\sqrt[3]{\frac{5^{2}}{3}-\frac{4\cdot5}{3}}=\sqrt[3]{\frac{5}{3}}

כלומר הנקודה \left(5,\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right) היא נקודת קיצון מקומי מסוג מקסימום.
נותר לחקור את הנקודה x=1. נשים לב כי מתקיים:

\begin{align*} &\lim_{x\to1^{-}}\frac{(x-4)^{3}}{27(x-2)^{2}}=-1\\&\lim_{x\to1^{+}}\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{3}-\frac{4x}{3}}=-1 \end{align*}

לכן הפונקציה f רציפה וגזירה לכל -4\leq x\leq 5. כמו כן, ראינו כי היא לא נקודת קיצון בשני התחומים ולכן היא אינה נקודת קיצון בתחום ההגדרה של הפונקציה.
סה"כ קיבלנו ארבע נקודות קיצון כאשר נקודת הקיצון מקסימום מוחלט הינה \left(5,\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right) ונקודת הקיצון מינימום מוחלט הינה \left(2,-\frac{2^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{3}}\right).
מערכת הצירים של הפונקציה: