מציאת צירוף לינארי של וקטור מעל המרוכבים

Zeta · 25 בינואר,‏ 2020,‏ 1:39pm

נבדוק אם הוקטור v=(-4+3i,-4-2i,2+i) הוא צירוף לינארי של איברי B. לשם כך, עלינו לבדוק אם קיימים \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C} כך שמתקיים:

(-4+3i,-4-2i,2+i)=(-1+2i,-2,1)\lambda_1+(1+3i,-2+2i,1-i)\lambda_2

זה שקול לפתור את המטריצה הבאה:

M_1=\begin{pmatrix}-1+2i & 1+3i & -4+3i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ 1 & 1-i & 2+i \end{pmatrix}

לכן, נדרג אותה.
אם אתה מסתבך עם תהליך דירוג מטריצות, ממליץ לך לעבור על השאלה הבאה: פתרון מערכת משוואות עם ארבעה נעלמים בעזרת דירוג מטריצה. המשתמש @Gilad מספק הסבר מעולה כיצד לפתור מערכת משוואות בעזרת מטריצות.
נדרג את המטריצה M_1. נעדיף תמיד כי בתא (1,1) יהיה לנו את הערך המספרי 1 שימנע ביצוע חישובים קשים. לכן נחליף בין השורה השלישית לשורה הראשונה, כך שנקבל:

\begin{pmatrix}-1+2i & 1+3i & -4+3i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ 1 & 1-i & 2+i \end{pmatrix}\overset{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1 & 1-i & 2+i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ -1+2i & 1+3i & -4+3i \end{pmatrix}

כמו כן, נרצה שבעמודה הראשונה, בכל התאים יהיה 0, מלבד בתא הראשון. כדי שיתקבל 0 בתא הנמצא בשורה השנייה ובעמודה הראשונה, נבצע את הפעולה R_2\to R_2+2R_1 ואילו כדי שיתקבל 0 בתא הנמצא בשורה השלישית ובעמודה הראשונה, נבצע את הפעולה R_3\to R_3-(-1+2i )R_1. סה"כ נקבל את המטריצה הבאה:

\begin{pmatrix}1 & 1-i & 2+i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ -1+2i & 1+3i & -4+3i \end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix}1 & 1-i & 2+i\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

קיבלנו כי בשתי השורות האחרונות יש שורות אפסים. לכן המערכת המשוואות המתקבלת היא בעצם המשוואה:

1\cdot\lambda_1+(1-i)\lambda_2=2+i

שני נעלמים ומשוואה אחת ולכן דרגת חופש אחת. לפיכך, נוכל להסיק כי יש אינסוף פתרונות למערכת המשוואת. כך לדוגמה, אם נבחר \lambda_2=0 נקבל \lambda_1=2+i. במקרה זה, נוכל להסיק כי מתקיים:

(-4+3i,-4-2i,2+i)=(-1+2i,-2,1)\cdot (2+i)+(1+3i,-2+2i,1-i)\cdot 0

כלומר הוקטור המבוקש v ניתן לתצוגה כצירוף לינארי של איברי הקבוצה B.
סעיף ב’ אני משאיר לך שכן הפתרון של זהה לפתרון של סעיף ב’.
נפתור את סעיף ג’. לשם כך, עלינו לבדוק אם הוקטור u=(-4+2i,-4-2i,2+i) הוא צירוף לינארי של איברי הקבוצה B. לכן נבדוק אם קיימים \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C} כך שמתקיים:

(-4+2i,-4-2i,2+i)=(-1+2i,-2,1)\lambda_1+(1+3i,-2+2i,1-i)\lambda_2

זה שקול לפתור את המטריצה הבאה:

M_3=\begin{pmatrix}-1+2i & 1+3i & -4+2i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ 1 & 1-i & 2+i \end{pmatrix}

נדרג את המטריצה. כמו קודם, נחליף בין השורה השלישית לשורה הראשונה, כך שנקבל:

\begin{pmatrix}-1+2i & 1+3i & -4+2i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ 1 & 1-i & 2+i \end{pmatrix}\overset{R_{3}\leftrightarrow R_{1}}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1 & 1-i & 2+i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ -1+2i & 1+3i & -4+2i \end{pmatrix}

כמו קודם, נרצה שבעמודה הראשונה, בכל התאים יהיה 0, מלבד בתא הראשון. לכן נבצע את אותן הפעולות שביצענו קודם - כדי שיתקבל 0 בתא הנמצא בשורה השנייה ובעמודה הראשונה, נבצע את הפעולה R_2\to R_2+2R_1 ואילו כדי שיתקבל 0 בתא הנמצא בשורה השלישית ובעמודה הראשונה, נבצע את הפעולה R_3\to R_3-(-1+2i )R_1. סה"כ נקבל את המטריצה הבאה:

\begin{pmatrix}1 & 1-i & 2+i\\ -2 & -2+2i & -4-2i\\ -1+2i & 1+3i & -4+2i \end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix}1 & 1-i & 2+i\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -i \end{pmatrix}

נשים לב כי בשורה השלישית קיבלנו את המשוואה:

0\cdot\lambda_1+0\cdot\lambda_2=-i

כלומר קיבלנו 0=-i, וזאת כמובן סתירה. לכן בהכרח לא ניתן לבנות צירוף לינארי מאיברי הקבוצה B כך שיתקבל הוקטור u.
מקווה שמובן, בהצלחה