היי אלון, לפי חוקי הקטגוריה "מתמטיקה", כל שאלה קונקרטית צריכה להיות בפוסט נפרד (כדי שבעתיד יהיה יותר קל לחפש). ערכתי בשבילך את הפוסט, אולם שים לב לזה פעם הבאה. כמו כן, אם אתה צריך עזרה עם הסדרה השנייה, מוזמן לפתוח פוסט נפרד 
כדי לפתור את השאלה הנ"ל, כל שעליך לעשות הוא לשחק עם הביטוי כדי לקבל גבול מהצורה:
\lim_{n\to \infty}\biggl(1+\frac{k}{n}\biggr)^{mn} = e^{mk}
בעזרת מעברים אלגבריים נקבל:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=\left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n^2}\right)^\frac1{\sin\frac{1}{n^2}}\right]^{\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\sin\frac{1}{n^2}}
תחילה נחשב את הגבול הפנימי. נסמן \sin\frac{1}{n^2}=\frac{1}{m} כך שנקבל:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n^2}\right)^\frac{1}{\sin\frac{1}{n^2}}=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m=e
עתה נחשב את הגבול החיצוני. נסמן h=n^2 כך שנקבל:
\lim_{n\to\infty} n^2\cdot\sin\frac{1}{n^2}=\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1
סה"כ קיבלנו:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e^1=e