נתון המשפט הבא:
אם חבורה אבלית המכילה שני איברים שונים מסדר 2, אזי היא מכילה תת-חבורה מסדר 4.
אני מעוניין להוכיח את המשפט הנתון אבל אינני מצליח. ניסיתי להסתכל על זוג איברים כללים בחבורה אבל כיצד עלי להמשיך?
אשמח לעזרה, תודה רבה 
יהיו a,b\in G איברים שונים מסדר 2, כלומר מתקיים: o(a)=o(b)=2. לכן, ע"פ ההגדרה נובע a^{2}=e ו-b^{2}=e. ברור כי ab=ba\neq e,a,b ולכן נגדיר את הקבוצה H=\{e,a,b,ab\}. מאחר ו-G חבורה וכל האיברים של H הם איברים של G, נוכל להסיק כי הם מקיימים את כלל הסגירות. כעת, ניתן להוכיח כי החבורה H מקיימת את כללי החבורה או לחלופין השתמש במשפט הבא:
תהי H תת-קבוצה סופית לא ריקה בחבורה G. קבוצה H היא תת-חבורה ב-G אם"ם H סגורה לגבי פעולת הכפל של G, כלומר לכל a,b\in H מתקיים a\cdot b\in H.
לכן מאחר ו-H סופית, ע"פ המשפט נובע כי H תת-חבורה מסדר 4.
לייק 1