שלום לכולם, קיבלתי שיעורי בית להוכיח כי אם הגבול של סדרה הוא L אזי הגבול של אותה סדרה בריבוע הוא L בריבוע. ניסיתי בהמון דרכים ולא הסתדר לי.
אשמח אם מישהו יוכל לעזור! תודה רבה
נוכיח את הטענה ע"פ הגדרת הגבול. ע"פ אי-שוויון המשולש נקבל:
|a_n^2-L^2|=|(a_n+L)(a_n-L)|=|(a_n+L)| |(a_n-L)|\le (|a_n|+|L|)(|a_n-L|)
ישנם שני מיקרים - L=0 ו-L\neq0.
אם L\neq0 אזי קיים N_1 כך שלכל n>N_1 מתקיים |a_n-L|\lt \frac{|L|}{2}. לכן עבור n\gt N_1 נקבל |a_n|\lt \frac{3|L|}{2}, כלומר מתקיים:
|a_n|+|L|\lt \frac{5|L|}{2}
מאחר ולסדרה (a_n) יש גבול L אזי קיים N_2 כך שלכל n>N_2 מתקיים:
|a_n-L|\lt \frac{2\epsilon}{5|L|}
יהי N=\max(N_1,N_2). אם n>N אזי נקבל:
|a_n^2-L^2|\le (|a_n|+|L|)(|a_n-L|)<\frac{5|L|}{2}\cdot\frac{2\epsilon}{5|L|}=\epsilon
החלק של L=0 דומה מאוד ואף פשוט יותר טכנית, לכן משאיר את החלק הזה לך.
סה"כ הראנו כי לכל \epsilon>0 קיים N כך שלכל n>N מתקיים |a_n^2-L^2|<\epsilon, כנדרש.
הערה: דרך נוספת להוכיח את הטענה, היא להראות כי אם הסדרות (a_n) ו-(b_n) מתכנסות אזי גם מכפלתן (a_nb_n) היא סדרה מתכנסת ומתקיים:
\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}(a_n)\lim_{n\to\infty}(b_n)