שלום לכולם 
אשמח לעזרה בתרגיל:
תהי a_n סדרת מספרים ממשיים. נתון כי הגבול של a_n הוא L ו-L>0. צריך להוכיח כי a_n>0.
תודה רבה
שלום @Lin, מה ניסית לעשות? כששואלים שאלות, נהוג להסביר מה ניסית לעשות ואיפה נתקעת, אחרת עלול לקרות מצב שלא יעזרו לך.
לגבי השאלה שלך, הטענה אינה נכונה. נגדיר את הסדרה a_n באופן הבא:
a_n=\left\{\begin{matrix}
-1 & n=1\\
2 & n>1
\end{matrix}\right.
אזי נקבל L=2>0 אבל a_1<0.
למעשה תמיד ניתן להגדיר כמות סופית של איברים לא חיובים.
אם בכל זאת אתה רוצה להגדיר טענה, אתה יכול להגדיר את הטענה הבאה:
תהי a_n סדרה של מספרים ממשיים. אם \lim_{n\to\infty}a_n=L כאשר L>0 אזי a_n>0 לכל n\in\mathbb{N} פרט לקבוצה סופית של איברים.
הסיבה לכך, היא אם \lim\limits_{n\to\infty} a_n=L>0 אזי a_n>\frac{L}{2} עבור n>n_1. מתקיים \frac{L}{2}>0 ולכן a_n>0, פרט לקבוצה סופית של איברים.