זו הדרך האהובה עלי להוכיח קיום גבול של x^n על-פי ההגדרה.
למרות כל זאת, אני עדיין תוהה אם דרך זו לגיטימית ואינה מעגלית.
אחד כתב לי לפני זמן קצר כי בלי לדעת שהפונקציה רציפה אזי לא ברור איך מוציאים שורש n-י של מספר. האם הוא צודק?
\begin{align}|x^n-a^n|&=\Big|(x-a+a)^n-a^n\Big|\\&=\left|\sum_{k=0}^{n-1}\tbinom{n}{k}a^k(x-a)^{n-k}\right|\\&\le\sum_{k=0}^{n-1}\tbinom{n}{k}|a|^k|x-a|^{n-k}\\&<\sum_{k=0}^{n-1}\tbinom{n}{k}|a|^k\delta^{n-k}=\varepsilon\\\delta&=\sqrt[n]{\varepsilon+|a|^n}-|a|\end{align}