נתונה השפה הבאה:
L_{3}\triangleq\left\{ \langle M\rangle\,:\,L\left(M\right)\subseteq HP\right\}
הוכיחו בעזרת משפט רייס כי מתקיים L_{3}\not\in RE וגם L_{3}\not\in R.
נוכיח כי השפה L_{3} אינה שייכת ל-RE ואינה שייכת ל-R. לשם כך, נשתמש במשפט רייס ונגדיר את התכונה הבאה:
S\triangleq\left\{ L\in RE\,:\,L\left(M\right)\subseteq HP\right\}
תחילה נוכיח כי L_{3}=L_{S} על-ידי הכלה דו-כיוונית:
- אם \langle M\rangle\in L_{3} אז מתקיים L\left(M\right)\subseteq HP. מאחר ומתקיים HP\in RE נובע L_{3}\in RE, כלומר \langle M\rangle\in L_{S}.
- אם \langle M\rangle\not\in L_{3} אז מתקיים L\left(M\right)\not\subseteq HP ולכן \langle M\rangle\not\in L_{S}.
הראנו כי אם \langle M\rangle\in L_{3} אז \langle M\rangle\in L_{S} ואם \langle M\rangle\not\in L_{3} אז \langle M\rangle\not\in L_{S} ולכן נקבל L_{3}=L_{S}.
כמו כן, מתקיים \varnothing\in S ולכן התכונה S אינה ריקה. בנוסף לכך, מאחר ומתקיים \varnothing\in R נובע כי S אינה טריוויאלית שכן קיימת שפה (שהיא השפה הריקה) שנמצאת ב-S וכן קיימת שפה (מכונת נקודות השבת) שלא נמצאת ב-S. בסה"כ ע"פ משפט רייס נקבל L_{3}\not\in R וגם L_{3}\not\in RE (שכן R\subseteq RE).