שלום לכולם, שאלה פשוטה ובסיסית למדי אבל אני לא מצליח למצוא את התשובה.
מה הנגזרת של \sin(2x)?
תודה רבה על העזרה.
אפשר להוכיח בעזרת כלל השרשרת, שטוען כי אם h(x)=f\left(g(x)\right) אז מתקיים h'(x)=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x).
נגדיר: g(x)=2x, f(x)=\sin(x) וגם h(x)=\sin(2x). לכן נקבל:
h'(x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x)
דרך נוספת היא להשתמש בהגדרת הנגזרת ולחשב את הגבול הבא:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(2x+2h)-\sin(2x)}{h}
נשתמש בזהות הטריגונומטרית של חיבור זווית: \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) ונקבל:
\begin{align*}
\sin(2x+2h)-\sin(2x)&=\sin(2x)\cdot\cos(2h)+\cos(2x)\cdot\sin(2h)-\sin(2x)\\&=\sin(2x)\left(\cos(2h)-1\right)+\cos(2x)\cdot\sin(2h)
\end{align*}
נשתמש בשתי הזהויות \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 וגם \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0 כך שנקבל:
\begin{align*}
\lim_{h\to0}\frac{\sin(2x+2h)-\sin(2x)}{h}&=\lim_{h\to0}\left(2\sin(2x)\frac{\left(\cos(2h)-1\right)}{2h}+2\cos(2x)\frac{\sin(2h)}{2h}\right)\\&=2\sin(2x)\cdot0+2\cos(2x)\cdot1=2\cos(2x)
\end{align*}
לכן הנגזרת הינה h'(x)=2\cos(2x).