בקבוצת אוכלוסייה מסוימת 60% דוברי עברית, 40% דוברי אנגלית, 30% דוברי צרפתית. כמו כן ידוע כי 12% דוברי עברית וצרפתית, 16% דוברי עברית ואנגלית, 5% מדברים את כל 3 השפות. בנוסף, נתון כי כל אדם באוכלוסייה מדבר לפחות אחת מ-3 השפות הנ"ל. אדם נבחר באקראי מהאוכלוסייה.
- מה ההסתברות שהוא דובר צרפתית ואנגלית?
- מה ההסתברות שהאדם שנבחר אינו דובר עברית?
- מה ההסתברות שהאדם שנבחר יודע עברית אך לא יודע אנגלית?
- מה ההסתברות שהאדם שנבחר יודע רק צרפתית?
סעיף ראשון
נסמן את המאורעות הבאים:
- מאורע H - אדם שנבחר דובר עברית.
- מאורע E - אדם שנבחר דובר אנגלית.
- מאורע F - אדם שנבחר דובר צרפתית.
ע"פ נתוני השאלה נוכל להסיק כי מתקיים:
\begin{align*}
&P(H)=0.6&&P(H\cap E)=0.16&&P(H\cup E\cup F)=1\\&P(E)=0.4&&P(H\cap F)=0.12&&P(H\cap E\cap F)=0.05\\&P(F)=0.3&&&&
\end{align*}
עלינו לחשב את ההסתברות שהאדם הנבחר הוא דובר צרפתית ואנגלית כלומר P(E\cap F). לשם כך נשתמש בכלל ההכלה והפרדה:
P(H\cup E\cup F)=P(H)+P(E)+P(F)-P(H\cap E)-P(H\cap F)-P(E\cap F)+P(H\cap E\cap F)
נציב את נתוני השאלה כך שנקבל:
1=0.6+0.4+0.3-0.16-0.12-P(E\cap F)+0.05\Rightarrow P(E\cap F)=0.07
סעיף שני
עלינו לחשב את ההסתברות שהאדם שנבחר אינו דובר עברית, כלומר P(\bar{H}). נשים לב כי מתקיים:
P(\bar{H})=1-P(H)=1-0.6=0.4
סעיף שלישי
עלינו לחשב את ההסתברות שהאדם שנבחר יודע עברית אך לא יודע אנגלית, כלומר P(H\cap\bar{E}). נשים לב כי מתקיים:
P(H\cap\bar{E})=P(H)-P(H\cap E)=0.6-0.16=0.44
סעיף רביעי
עלינו לחשב את ההסתברות שהאדם שנבחר יודע רק צרפתית, כלומר P(\bar{H}\cap\bar{E}\cap F). נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
P(\bar{H}\cap\bar{E}\cap F)&=P(F)-P(H\cap F)-P(E\cap F)+P(H\cap E\cap F)\\&=0.3-0.12-0.07+0.05=0.16
\end{align*}