על מרחב המדגם \varOmega=\{0,1,2,...\} מוגדרת מידת ההסתברות הבאה - עבור k\geq1 מתקיים P(k)=\frac{4}{k}P(k-1). מצאו את ההסתברות P(k) באופן מפורש.
נשתמש בשיטת ההצבות החוזרות כדי להגיע לנוסחה מפורשת:
\begin{align*}
P(k)&=\frac{4}{k}P(k-1)=\frac{4^{2}}{k(k-1)}P(k-2)=\\&=\frac{4^{3}}{k(k-1)(k-2)}P(k-3)\\&=\vdots\\&=\frac{4^{k}}{k\cdot(k-1)\cdot...\cdot(k-(k-1))}P(0)\\&=\frac{4^{k}}{k!}P(0)
\end{align*}
מאחר וסכום ההסתברויות של מאורעות פשוטים במרחב מדגם שווה לאחד, נוכל להסיק כי מתקיים (ניעזר בטור \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}):
\sum_{k=0}^{\infty}P(k)=1\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k}}{k!}P(0)=1\Leftrightarrow e^{4}P(0)=1\Leftrightarrow P(0)=\frac{1}{e^{4}}
לכן, בסה"כ נובע:
P(k)=\frac{4^{k}}{k!}P(0)=\frac{4^{k}}{k!\cdot e^{4}}