סעיף ראשון
נסמן את הקובייה הלבנה ב-w, את הקובייה השחורה ב-b ואת הקובייה האדומה ב-r. כמו כן, נמספר את הפאות מ-1 עד 6. ניתן לתאר את מרחב המדגם כאוסף וקטורים באורך שלוש כאשר כל איבר מייצג את תוצאת הקובייה. כלומר, מרחב המדגם ניתן לתיאור בצורה הבאה:
\varOmega=\{(a_{w},a_{b},a_{r})\,:\,a_{i\in\{w,b,r\}}\in\{1,...,6\}\}
לכל a_{i\in\{w,b,r\}} יש שש אפשרויות. מאחר והווקטור באורך 3, נוכל להסיק כי מספר האפשרויות הינו:
|\varOmega|=6^{3}=216
סעיף שני
נגדיר מאורע A להיות המקרה בו תוצאת הקובייה השחורה היא אי-זוגית. לכן, לקובייה הלבנה יש שש אפשרויות, לקובייה השחורה יש שלוש אפשרויות ולקביה האדומה יש שש אפשרויות. סה"כ ע"פ עקרון הכפל |A|=6\cdot3\cdot6=108. מאחר ומדובר במרחב שווה הסתברות נובע:
P(A)=\frac{|A|}{|\varOmega|}=\frac{108}{216}=\frac{1}{2}
סעיף שלישי
נגדיר מאורע B להיות המקרה בו סכום התוצאות בקובייה הלבנה והאדומה הוא 5. לכן, את המאורע B ניתן לתאר בצורה הבאה:
B=\{(1,a,4),(4,a,1),(2,a,3),(3,a,2)\,:\,a\in\{1,...,6\}\}
עבור הקובייה השחורה יש שש אפשרויות ולכן נוכל להסיק כי מספר האפשרויות הינו |B|=4\cdot6=24. מאחר ומדובר במרחב שווה הסתברות נובע:
P(B)=\frac{|B|}{|\varOmega|}=\frac{24}{216}=\frac{1}{9}
סעיף רביעי
נגדיר מאורע C להיות המקרה בו סכום התוצאות בקובייה הלבנה והשחורה שווה לפעמיים תוצאת הקובייה האדומה, כלומר 2a_{r}=a_{w}+a_{b} עבור a_{i\in\{w,b,r\}}\in\{1,...,6\}. נפריד למקריים זרים לפי תוצאת הקובייה האדומה:
- אם a_{r}=1 אז a_{w}+a_{b}=2 ולכן בהכרח a_{w}=a_{b}=1. כלומר המאורע C_{1} מכיל אפשרות אחת.
- אם a_{r}=2 אז a_{w}+a_{b}=4 ולכן המאורע C_{2} מכיל את הזוגות הבאים:
C_{2}=\{(1,3,2),(3,1,2),(2,2,2)\}\Rightarrow|C_{2}|=3
- אם a_{r}=3 אז a_{w}+a_{b}=6 ולכן המאורע C_{3} מכיל את הזוגות הבאים:
C_{3}=\{(1,5,3),(5,1,3),(3,3,3),(2,4,3),(4,2,3)\}\Rightarrow|C_{3}|=5
- אם a_{r}=4 אז a_{w}+a_{b}=8 ולכן המאורע C_{4} מכיל את הזוגות הבאים:
C_{4}=\{(3,5,4),(5,3,4),(4,4,4),(2,6,4),(6,2,4)\}\Rightarrow|C_{4}|=5
- אם a_{r}=5 אז a_{w}+a_{b}=10 ולכן המאורע C_{5} מכיל את הזוגות הבאים:
C_{5}=\{(5,5,5),(6,4,5),(4,6,5)\}\Rightarrow|C_{5}|=3
- אם a_{r}=6 אז a_{w}+a_{b}=12 ולכן המאורע C_{6} מכיל את הזוגות הבאים:
C_{6}=\{(6,6,6)\}\Rightarrow|C_{6}|=1
סה"כ, נוכל להסיק כי מתקיים:
|C|=\sum_{i=1}^{6}|C_{i}|=1+3+5+5+3+1=18
מאחר ומדובר במרחב שווה הסתברות נובע:
P(C)=\frac{|C|}{|\varOmega|}=\frac{18}{216}=\frac{1}{12}
סעיף חמישי
נגדיר מאורע D_{k,m} להיות המקרה בו סכום של תוצאות בקוביות k ו-m שווה ל-6. תחילה נחשב את ההסתברות של מאורע D_{b,w}. מאורע זה ניתן לתיאור בצורה הבאה:
D_{b,w}=\{(1,5,a),(2,4,a),(3,3,a),(4,2,a),(5,1,a)\,:\,a\in\{1,...,6\}\}
עבור הקובייה האדומה יש שש אפשרויות. לכן, נוכל להסיק כי מתקיים: |D_{b,w}|=6\cdot5=30. מאחר ומדובר במרחב שווה הסתברות נובע:
P(D_{b,w})=\frac{|D_{b,w}|}{|\varOmega|}=\frac{30}{216}=\frac{5}{36}
מטעמי סימטריה נקבל:
P(D_{b,w})=P(D_{b,r})=P(D_{w,r})=\frac{5}{36}
עתה, נמצא את ההסתברות של המאורע D_{b,w}\cap D_{b,r}. מאורע זה ניתן לתיאור בצורה הבאה:
D_{b,w}\cap D_{b,r}=\{(1,5,1),(2,4,2),(3,3,3),(4,2,4),(5,1,5)\}\Rightarrow|D_{b,w}\cap D_{b,r}|=5
מאחר ומדובר במרחב שווה הסתברות נובע:
P(D_{b,w}\cap D_{b,r})=\frac{|D_{b,w}\cap D_{b,r}|}{|\varOmega|}=\frac{5}{216}
מטעמי סימטריה נקבל:
P(D_{b,w}\cap D_{b,r})=P(D_{b,r}\cap D_{w,r})=P(D_{b,w}\cap D_{w,r})=\frac{5}{36}
כעת, נמצא את הסתברות של המאורע D_{b,w}\cap D_{b,r}\cap D_{w,r}. מאורע זה מכיל רק את האפשרות (3,3,3) ולכן נקבל:
|D_{b,w}\cap D_{b,r}\cap D_{w,r}|=3\Rightarrow P(D_{b,w}\cap D_{b,r}\cap D_{w,r})=\frac{|D_{b,w}\cap D_{b,r}\cap D_{w,r}|}{|\varOmega|}=\frac{1}{216}
ע"פ עקרון ההכלה והפרדה נקבל:
\begin{align*}
P(D_{b,w}\cup D_{b,r}\cup D_{w,r})&=P(D_{b,w})+P(D_{b,r})+P(D_{w,r})-P(D_{b,w}\cap D_{b,r})-P(D_{b,r}\cap D_{w,r})-P(D_{b,w}\cap D_{w,r})+P(D_{b,w}\cap D_{b,r}\cap D_{w,r})\\&=\frac{5}{36}+\frac{5}{36}+\frac{5}{36}-\frac{5}{216}-\frac{5}{216}-\frac{5}{216}+\frac{1}{216}=\frac{19}{54}
\end{align*}