חישוב הסתברות של כדורים בכדים בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה

מתמטיקה
1

בכד ראשון 6 כדורים לבנים ו-8 שחורים, בכד שני 3 כדורים לבנים ו-2 שחורים. כדור אחד מעבירים באקראי מכד שני לראשון. אחר כך לוקחים כדור מכד ראשון.

  1. מה ההסתברות שהוא לבן?
  2. בהינתן שכדור לבן הוצאה מכד ראשון (בשלב השני), מה ההסתברות שמכד שני (בשלב הראשון) הוצאה גם כדור לבן?
2

סעיף ראשון
נגדיר מאורע W להיות המקרה בו הועבר כדור לבן מכד שני לראשון. כמו כן, נגדיר מאורע A להיות המקרה בו כדור לבן הוצאה מהכד הראשון. נשתמש בנוסחת ההסתברות השלמה כדי לחשב את ההסתברות שהכדור שהוצא מהכד הראשון הוא בצבע לבן:

P(A)=P(A|W)P(W)+P(A|W^{c})P(W^{c})

בכד השני יש 3 כדורים לבנים ו-2 שחורים ולכן ההסתברות להוציא כדור לבן מהכד השני הינה P(W)=\frac{3}{5}. כמו כן, ההסתברות להוציא כדור לא לבן (כלומר שחור) מהכד השני הינה P(W^{c})=\frac{2}{5}. בהינתן שאנו יודעים שהכדור שהוצא מהכד השני הוא בצבע לבן, אזי נוכל לחשב את ההסתברות להוציא כדור לבן מהכד הראשון. במקרה זה, בכד הראשון יש 7 כדורים לבנים ו-8 כדורים שחורים ולכן ההסתברות להוציא כדור לבן הינה P(A|W)=\frac{7}{15}. בהינתן שאנו יודעים שהכדור שהוצא מהד השני הוא לא בצבע לבן, כלומר בצבע שחור, אזי נוכל לחשב את ההסתברות להוציא כדור לבן מכד הראשון. במקרה זה, בכד הראשון יש 6 כדורים לבנים ו-9 כדורים שחורים ולכן ההסתברות להוציא כדור לבן הינה P(A|W^{c})=\frac{6}{15}. סה"כ נקבל:

P(A)=\frac{7}{15}\cdot\frac{3}{5}+\frac{6}{15}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{25}+\frac{4}{25}=\frac{11}{25}

סעיף שני
נשתמש במשפט בייס כדי לחשב את ההסתברות שמכד שני (בשלב הראשון) הוצאה גם כדור לבן:

P(W|A)=\frac{P(A|W)\cdot P(W)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{15}\cdot\frac{3}{5}}{\frac{11}{25}}=\frac{7}{11}