חישוב הסתברות של כדורים בכדים בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה

מתמטיקה
2

סעיף ראשון
נגדיר מאורע W להיות המקרה בו הועבר כדור לבן מכד שני לראשון. כמו כן, נגדיר מאורע A להיות המקרה בו כדור לבן הוצאה מהכד הראשון. נשתמש בנוסחת ההסתברות השלמה כדי לחשב את ההסתברות שהכדור שהוצא מהכד הראשון הוא בצבע לבן:

P(A)=P(A|W)P(W)+P(A|W^{c})P(W^{c})

בכד השני יש 3 כדורים לבנים ו-2 שחורים ולכן ההסתברות להוציא כדור לבן מהכד השני הינה P(W)=\frac{3}{5}. כמו כן, ההסתברות להוציא כדור לא לבן (כלומר שחור) מהכד השני הינה P(W^{c})=\frac{2}{5}. בהינתן שאנו יודעים שהכדור שהוצא מהכד השני הוא בצבע לבן, אזי נוכל לחשב את ההסתברות להוציא כדור לבן מהכד הראשון. במקרה זה, בכד הראשון יש 7 כדורים לבנים ו-8 כדורים שחורים ולכן ההסתברות להוציא כדור לבן הינה P(A|W)=\frac{7}{15}. בהינתן שאנו יודעים שהכדור שהוצא מהד השני הוא לא בצבע לבן, כלומר בצבע שחור, אזי נוכל לחשב את ההסתברות להוציא כדור לבן מכד הראשון. במקרה זה, בכד הראשון יש 6 כדורים לבנים ו-9 כדורים שחורים ולכן ההסתברות להוציא כדור לבן הינה P(A|W^{c})=\frac{6}{15}. סה"כ נקבל:

P(A)=\frac{7}{15}\cdot\frac{3}{5}+\frac{6}{15}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{25}+\frac{4}{25}=\frac{11}{25}

סעיף שני
נשתמש במשפט בייס כדי לחשב את ההסתברות שמכד שני (בשלב הראשון) הוצאה גם כדור לבן:

P(W|A)=\frac{P(A|W)\cdot P(W)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{15}\cdot\frac{3}{5}}{\frac{11}{25}}=\frac{7}{11}