משדרים אות באורך 8 סיביות. ההסתברות שיחול שיבוש בשידור של סיבית כלשהי היא 0.1 ללא תלות בסיביות אחרות. ידוע שלא ניתן לשחזר את האות אם חלו שיבושים בלפחות שתי סיביות עוקבות, אחרת, כן ניתן לשחזר. מהי ההסתברות שהאות ישוחזר?
נגדיר מאורע A להיות המקרה בו האות ישוחזר, כלומר המקרה בו אין שתי סיביות עוקבות משובשות. כמו כן, נגדיר מאורע C_{k} להיות המקרה בו באות שובשו k סיביות בדיוק. נסמן ב-X את מספר הסיביות ששובשו ולכן X\sim Bin(8,0.1). לפיכך, נוכל לחשב את ההסתברות בעזרת הנוסחה להתפלגות בינומית:
P(C_{k})=P(X=k)={8 \choose k}\cdot0.1^{k}\cdot(1-0.1)^{8-k}={8 \choose k}\cdot0.1^{k}\cdot0.9^{8-k}
נרצה לחשב את ההסתברות לשחזר אות, בהינתן ששובשו 0\leq k\leq8 סיביות. נפריד למקרים זרים לפי כמות הסיביות אשר שובשו:
- אם k=0 או k=1 אז מדובר במאורע (מותנה) ודאי ולכן ההסתברות P(A|C_{k}) במקרה זה הינה 1.
- אם 4<k\leq8 אז מדובר במאורע (מותנה) ריק ולכן ההסתברות P(A|C_{k}) במקרה זה הינה 0.
- אם 2\leq k\leq4 אז ע"פ כפל הכפל מתקיים:
P(A|C_{k})=\frac{P(A\cap C_{k})}{P(C_{k})}
נחשב את P(A\cap C_{k}) במקרה השלישי. המאורע A\cap C_{k} מייצג מקרה בו קיימות k סיביות משובשות ואף שתיים מהן לא עוקבות. כלומר מדובר במודל בינומי עם k הצלחות (כלומר k סיביות משובשות) שבו שאין שתי הצלחות עוקבות. ההסתברות לכך הינה D_{k}\cdot0.1^{k}\cdot0.9^{8-k} כאשר D_{k} שווה למספר האפשרויות למקם k סיביות משובשות מתוך 8 כך שאין שני סיביות עוקבות משובשות. כאשר יש k סיביות משובשות אז יש 8-k סיביות תקינות. נמקם את k הסיביות המשובשות. קיימים (8-k-1) מקומות בין הסיביות התיקנות ועוד 2 מקומות (בקצוות). לכן בסה"כ 8-k+1 מקומות אפשריים, כלומר D_{k}={8-k+1 \choose k} אפשרויות. סה"כ נקבל:
P(A\cap C_{k})={8-k+1 \choose k}\cdot0.1^{k}\cdot0.9^{8-k}
מכך נוכל להסיק כי מתקיים:
P(A|C_{k})=\frac{P(A\cap C_{k})}{P(C_{k})}=\frac{{8-k+1 \choose k}\cdot0.1^{k}\cdot0.9^{8-k}}{{8 \choose k}\cdot0.1^{k}\cdot0.9^{8-k}}
סה"כ, בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה נקבל:
P(A)=\sum_{k=0}^{8}P(A|C_{k})P(C_{k})\approx0.9368