האיברים של מטריצה 2\times2 הם משתנים מקריים ב"ת המקבלים את הערכים -1,0,1, בהסתברות 0.25,0.5,0.25 בהתאמה. חשבו את ההסתברות שמטריצה כנ"ל תהיה הפיכה.
נגדיר מ"מ X_{1},X_{2},X_{3},X_{4} להיות הערכים בתא i במטריצה. ע"פ נתוני השאלה מתקיים:
P\left(X_{i}=x\right)=\begin{cases}
0.25 & x=-1\\
0.5 & x=0\\
0.25 & x=1
\end{cases}
מטריצה היא הפיכה אם"ם הדטרמיננטה שונה מאפס. נגדיר מאורע A להיות המקרה שבו התקבלה מטריצה הפיכה. לכן נקבל:
P\left(A\right)=P\left(X_{1}X_{3}-X_{2}X_{4}\neq0\right)=1-P\left(X_{1}X_{3}=X_{2}X_{4}\right)
נפריד למקרים:
- אם התקבלה התוצאה 0 בשני האגפים אזי:
- כל ארבעת האיברים הם אפסים - ההסתברות לכך הינה 0.5^{4}.
- שני אפסים - נבחר את המקום של האפס מבין X_{1} ו-X_{3} ב-2 אפשרויות. נבחר את המקום של האפס מבין X_{2} ו-X_{4} ב-2 אפשרויות. בשאר המקומות יכול להיות \pm1. לכן ההסתברות הינה:
2\cdot2\cdot0.5^{2}\cdot0.5^{2}=4\cdot0.5^{4}
- שלושה אפסים - נבחר מבין שתי הזוגות את המקום שבו יהיו שני אפסים ב-2 אפשרויות. בזוג השני נבחר מבין שני האיברים את המקום שבו יהיה 0 ב-2 אפשרויות. במקום הנותר יכול להיות \pm1. לכן ההסתברות הינה:
2\cdot2\cdot0.5^{2}\cdot0.5^{2}=4\cdot0.5^{4}
- אם התקבלה התוצאה 1 בשני האגפים אזי:
- כל ארבעת האיברים הם 1 - ההסתברות לכך הינה 0.25^{4}.
- כל ארבעת האיברים הם -1 - ההסתברות לכך הינה 0.25^{4}.
- זוג אחדים וזוג מינוס אחדים - נבחר את הצד שבו יהיו זוג האחדים ב-2 אפשרויות. לכן ההסתברות לכך הינה 2\cdot0.25^{4}.
- אם התקבלה התוצאה -1 בשני האגפים אזי:
- שני זוגות של אחד ומינוס אחד - בזוג הראשון נבחר את האיבר שיכיל 1 ב-2 אפשרויות. בזוג השני נבחר את האיבר שיכיל 1 ב-2 אפשרויות. לכן ההסתברות הינה:
2\cdot2\cdot0.25^{2}\cdot0.25^{2}=4\cdot0.25^{4}
סה"כ נקבל:
\begin{align*}
P\left(A\right)&=1-\left(0.5^{4}+4\cdot0.5^{4}+4\cdot0.5^{4}+0.25^{4}+0.25^{4}+2\cdot0.25^{4}+4\cdot0.25^{4}\right)\\&=1-\frac{19}{32}=\frac{13}{32}=0.40625
\end{align*}