נתון מ"מ Y\sim Pois\left(1\right). בנוסף נתון E\left(X|Y\right)=\frac{Y+1}{2}. חשבו את התוחלת:
E\left(\frac{2X}{(Y+1)^{2}}\right)
נתון כי המ"מ Y מתפלג פואסון. נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
E\left(\frac{2X}{(Y+1)^{2}}\right)&=E\left(E\left(\frac{2X}{(Y+1)^{2}}|Y\right)\right)=E\left(\frac{2}{\left(Y+1\right)^{2}}E\left(X|Y\right)\right)\\&=E\left(\frac{2}{\left(Y+1\right)^{2}}\cdot\frac{Y+1}{2}\right)=E\left(\frac{1}{Y+1}\right)
\end{align*}
נגדיר g(y)=\frac{1}{y+1}. תוחלת של פונקציה של מ"מ:
\begin{align*}
E\left(g(Y)\right)&=E\left(\frac{1}{Y+1}\right)=\sum_{y=0}^{\infty}\frac{1}{y+1}\cdot\frac{e^{-1}}{y!}=\sum_{y=-1}^{\infty}\frac{e^{-1}}{(y+1)!}-e^{-1}\\&=e^{0}-e^{-1}=0.632
\end{align*}
כלומר, התוצאה הינה 0.632.