ההכנסה הממוצעת לנפש בהרצליה פיתוח היא 10,000 דולר. מצאו חסם עליון לאחוז האנשים שהכנסתם מעל 50,000 דולר, אם ידוע כי סטיית התקן של ההכנסה היא 8,000 דולר.
- לפי אי שוויון מרקוב.
- לפי אי שוויון צ’בישב.
נתבונן על הרצליה פיתוח ככד. נגדיר מ"מ X להיות המקרה בו הכנסת אדם שנבחר באקראי. ע"פ נתוני השאלה E\left(X\right)=10,000 וגם Var\left(X\right)=8,000^{2}. נפתור את הסעיפים:
סעיף ראשון
נמצא חסם עליון לאחוז האנשים שהכנסתם מעל 50,000 דולר בעזרת אי שוויון מרקוב, כלומר נרצה למצוא חסם עליון ל-P\left(X\geq50,000\right). ע"פ אי-שוויון מרקוב מתקיים:
P\left(X\geq50,000\right)\leq\frac{E\left(X\right)}{50,000}=\frac{10,000}{50,000}=\frac{1}{5}
סעיף שני
נמצא חסם עליון לאחוז האנשים שהכנסתם מעל 50,000 דולר בעזרת אי שוויון צ’בישב, כלומר נרצה למצוא חסם עליון ל-P\left(X\geq50,000\right). ע"פ אי-שוויון צ’בישב מתקיים:
\begin{align*}
P\left(X\geq50,000\right)&=P\left(X-10,000\geq50,000-10,000\right)\\&\overset{(*)}{=}P\left(|X-10,000|\geq40,000\right)-\underset{0}{\underbrace{P\left(X-10,000\leq40,000\right)}}\\&=P\left(|X-10,000|\geq5\cdot SD\left(X\right)\right)\leq\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}
\end{align*}
כאשר במעבר (*) השתמשנו בכך שמתקיים:
P\left(|X|\geq b\right)=P\left(X\geq b\right)+P\left(X\leq-b\right)