חלקיק מתחיל תנועתו בנקודה x=0, ובכל צעד הוא קופץ יחידה אחת ימינה בהסתברות \frac{1}{3}, יחידה אחת שמאלה בהסתברות \frac{1}{3}, או נשאר במקום בהסתברות \frac{1}{3}. נסמן ב-S_{n} את מיקום החלקיק לאחר n צעדים. חשבו את הגבול:
\lim_{n\to\infty}P\left(|S_{n}|\leq\sqrt{\frac{n}{6}}\right)
נגדיר מ"מ X_{i} להיות הצעד ה-i. כמו כן, נגדיר: S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}. נשים לב כי S_{n} היא סכום הצעדים אשר מהווים סדרת משתנים מקרים בלתי תלויים, כולם בעלי אותה פונקצית הסתברות:
p\left(k\right)=\begin{cases}
\frac{1}{3} & k\in\{-1,0,1\}\\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
E\left(X_{i}\right)=0\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\frac{1}{3}+(-1)\cdot\frac{1}{3}=0
כמו כן, מתקיים:
\begin{align*}
Var\left(X_{i}\right)&=E\left(X_{i}^{2}\right)-\left[E\left(X_{i}\right)\right]^{2}\\&=E\left(X_{i}^{2}\right)=0\cdot\frac{1}{3}+1^{2}\cdot\frac{1}{3}+(-1)^{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
\end{align*}
על פי משפט הגבול המרכזי מתקיים:
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}P\left(|S_{n}|\leq\sqrt{\frac{n}{6}}\right)&=\lim_{n\to\infty}P\left(-\sqrt{\frac{n}{6}}\leq S_{n}\leq\sqrt{\frac{n}{6}}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}P\left(-\sqrt{\frac{n}{6}}\leq S_{n}-nE\left(X_{i}\right)\leq\sqrt{\frac{n}{6}}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}P\left(-\frac{\sqrt{\frac{n}{6}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{n}}\leq\frac{S_{n}-nE\left(X_{i}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{i}\right)}\sqrt{n}}\leq\frac{\sqrt{\frac{n}{6}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{n}}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}P\left(-\frac{1}{2}\leq\frac{S_{n}-nE\left(X_{i}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{i}\right)}\sqrt{n}}\leq\frac{1}{2}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\left(P\left(\frac{S_{n}-nE\left(X_{i}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{i}\right)}\sqrt{n}}\leq\frac{1}{2}\right)-P\left(\frac{S_{n}-nE\left(X_{i}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{i}\right)}\sqrt{n}}\leq-\frac{1}{2}\right)\right)\\&=\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right)=\Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right)\\&=2\Phi(0.5)-1=0.382924
\end{align*}
כנדרש.