יהי X משתנה מקרי המפולג מערכית עם תוחלת 0.5 וכן יהי Y משתנה מקרי המפולג אחיד בקטע [0,1]. הניחו כי שני המשתנים המקריים הנ"ל מוגדרים על אותו מרחב מדגם וב"ת. נסמן: Z=X+Y. חשבו את פונקציית הצפיפות f_{Z}(2).
נתון X\sim\exp\left(2\right) וגם Y\sim Uni\left(0,1\right) ולכן נקבל:
\begin{align*}
f_{X,Y}(x,y)&=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)=2e^{-2x}I_{\left\{ x\geq0\right\} }\frac{1}{1-0}I_{\left\{ 0\leq y\leq1\right\} }\\&=2e^{-2x}I_{\left\{ x\geq0\right\} }I_{\left\{ 0\leq y\leq1\right\} }
\end{align*}
נשתמש בקונבולוציה כדי לחשב את f_{Z}(2):
\begin{align*}
f_{Z}(2)&=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,2-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}2e^{-2x}I_{\left\{ x\geq0\right\} }I_{\left\{ 0\leq2-x\leq1\right\} }dx\\&=\int_{-\infty}^{\infty}2e^{-2x}I_{\left\{ x\geq0\right\} }I_{\left\{ 1\leq x\leq2\right\} }dx=\int_{1}^{2}2e^{-2x}dx\\&=2\left[\frac{e^{-2x}}{-2}\right]_{1}^{2}=2\left[\left(\frac{e^{-2\cdot2}}{-2}\right)-\left(\frac{e^{-2\cdot1}}{-2}\right)\right]\\&=e^{-2}-e^{-4}\approx0.117
\end{align*}
כלומר, סה"כ קיבלנו כי מתקיים f_Z(2)=0.117.