חשבו את הגבול הבא בעזרת חוק המספרים הקטנים:
\lim_{n\to\infty}\sum_{\frac{n}{6}\leq j\leq\frac{n}{2}}{n \choose j}\left(\frac{1}{3}\right)^{j}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-j}
נגדיר X_{i}\sim Ber\left(\frac{1}{3}\right) וגם S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}. לכן נקבל S_{n}\sim Bin\left(n,\frac{1}{3}\right). כמו כן, נקבל התוחלת של משתנה שמתפלג בינומית במקרה הינה E\left(X_{i}\right)=\frac{1}{3}. לפיכך נקבל:
\begin{align*}
\sum_{\frac{n}{6}\leq j\leq\frac{n}{2}}{n \choose j}\left(\frac{1}{3}\right)^{j}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-j}&=P\left(\frac{n}{6}\leq S_{n}\leq\frac{n}{2}\right)=P\left(\frac{1}{6}\leq\frac{1}{n}S_{n}\leq\frac{1}{2}\right)\\&=P\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\leq\frac{1}{n}S_{n}-E\left(X_{i}\right)\leq\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\right)\\&=P\left(-\frac{1}{6}\leq\frac{1}{n}S_{n}-E\left(X_{i}\right)\leq\frac{1}{6}\right)\\&=P\left(|\frac{1}{n}S_{n}-E\left(X_{i}\right)|\leq\frac{1}{6}\right)
\end{align*}
לכן ע"פ חוק המספרים הקטנים נקבל:
\lim_{n\to\infty}P\left(|\frac{1}{n}S_{n}-E\left(X_{i}\right)|\leq\frac{1}{6}\right)=1
מכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
\lim_{n\to\infty}\sum_{\frac{n}{6}\leq j\leq\frac{n}{2}}{n \choose j}\left(\frac{1}{3}\right)^{j}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-j}=1