נתון משתנה מקרי X המקבל ערכים אי-שליליים. הוכיחו בעזרת אי-שוויון ינסן כי מתקיים:
\left(E\left(X^{3}\right)\right)^{\frac{1}{3}}\leq\left(E\left(X^{4}\right)\right)^{\frac{1}{4}}
נגדיר את הפונקציה f(x)=x^{\frac{4}{3}}. נשים לב כי מ"מ Y=X^{3} נתמכת בקרן I=[0,\infty). כמו כן, הפונקציה f רציפה וגזירה ב-[0,\infty). נגזור ונקבל f'(x)=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}. נגזור שוב ונקבל f''(x)=\frac{4}{9}x^{-\frac{2}{3}}. לכל x>0 מתקיים f''(x)>0, כלומר פונקציה f קמורה. ע"פ אי-שוויון ינסן נקבל:
f\left(E\left(X^{3}\right)\right)\leq E\left(f\left(X^{3}\right)\right)\Leftrightarrow\left[E\left(X^{3}\right)\right]^{\frac{4}{3}}\leq E\left(X^{4}\right)\Leftrightarrow\left[E\left(X^{3}\right)\right]^{\frac{1}{3}}\leq\left[E\left(X^{4}\right)\right]^{\frac{1}{4}}
כנדרש.