נתונים שני גלים בעלי אותה משרעת, אותו אורך גל, ואותו זמן מחזור, השונים זה מזה בקבועי הפאזה.
\begin{align*}
&f_{1}(x,t)=A\sin\left(k(x-vt)+\phi_{1}\right)\\&f_{2}(x,t)=A\sin\left(k(x-vt)+\phi_{2}\right)
\end{align*}
הגלים קיימים בתווך מסוים, נתונים באותה מערכת צירים באותו הזמן. מצאו את התנאי על קבועי הפאזה של הגלים בכדי שתהיה:
- התאבכות בונה.
- התאבכות הורסת.
סעיף ראשון
גלים הקיימים באותו תווך באותו הזמן מתאבכים (מתחברים). נחבר ע"י נוסחת סכום סינוסים:
\begin{align*}
F(x,t)&\triangleq f_{1}(x,t)+f_{2}(x,t)=A\sin\left(k(x-vt)+\phi_{1}\right)+A\sin\left(k(x-vt)+\phi_{2}\right)\\&=A\left[\sin\left(k(x-vt)+\phi_{1}\right)+\sin\left(k(x-vt)+\phi_{2}\right)\right]\\&=2A\sin\left(\frac{\left(k(x-vt)+\phi_{1}\right)+\left(k(x-vt)+\phi_{2}\right)}{2}\right)\cos\left(\frac{\left(k(x-vt)+\phi_{1}\right)-\left(k(x-vt)+\phi_{2}\right)}{2}\right)\\&=2A\sin\left(k(x-vt)+\frac{1}{2}(\phi_{1}+\phi_{2})\right)\cos\left(\frac{1}{2}(\phi_{1}-\phi_{2})\right)
\end{align*}
בהתאבכות בונה נקבל גל עם אמפליטודה כפולה ותדירות ואורך גל זהים לגלים המקוריים. מצב זה יתקבל אם:
\cos\left(\frac{1}{2}(\phi_{1}-\phi_{2})\right)=\pm1\Rightarrow\frac{1}{2}(\phi_{1}-\phi_{2})=\pi k,\,k=0,1,2,\ldots
לכן, עבור k=0 למשל, נקבל:
F(x,t)=2A\sin\left(k(x-vt)+\phi\right)
סעיף שני
בכדי לקבל התאבכות הורסת נרצה שהגל החדש יהיה תמיד אפס לכל t ולכל x. בתנאי:
\frac{1}{2}(\phi_{1}-\phi_{2})=\frac{\pi}{2}+\pi k=\pi\left(k+\frac{1}{2}\right)
אכן נקבל F(x,t)=0. עבור k שלם זהו התנאי על קבועי הפאזה להתאבכות הורסת.