הוכיחו את משפט ההתמדה של סילבסטר: הערכים p,q (שנקראים גם הסיגנטורה של f) נקבעים על ידי f, כלומר אם קיימת עוד מטריצה אלכסונית שמייצגת את f שבה יש r אחדים וכן s מינוס אחדים על האלכסון, אזי מתקיים p=r וגם q=s.
הוכחת משפט ההתמדה של סילבסטר: נניח כי המטריצה A מייצגת את f עם סיגנטורה (p,q). כמו כן, נניח כי C מייצגת את אותה f עם סיגנטורה (r,s). בלי הגבלת הכלליות, נניח כי מתקיים r\leq p. יהיו \{v_1,\ldots,v_p\}\subseteq V איברי הבסיס שעליהם מתקיים f(v_i,v_i)=1 לפי המטריצה A. נסמן U\triangleq \text{span}\{v_1,\ldots,v_p\} ויהי u\in U וקטור שאינו וקטור האפס. נשים לב כי מתקיים:
f(u,u)=f\left(\sum_{i=1}^p a_i v_i, \sum_{i=1}^p a_i v_i\right)=\sum_{i=1}^p a_i^2 f(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^p a_i^2>0
כעת נביט במרחב W\subseteq V שנפרש על ידי כל הווקטורים w_i בבסיס שבו f מיוצגת על ידי המטריצה C שעבורם מתקיים f(w_i,w_i)=-1,0. עבור כל w\in W נראה כי:
f(w,w)=f(\sum a_iw_i,\sum a_iw_i)=\sum a_i^2 f(w_i,w_i)\leq 0
לסיום, נשים לב שאם מתקיים r<p ולכן s>q. מכך נוכל להסיק כי מתקיים:
\dim W+\dim U=n-r+p >\dim V
מכך נובע U\cap W\neq \{0\} וזו סתירה לכך שאם 0\neq v\in V\cap W אזי מתקיים:
\begin{align*}
& v\in U \Rightarrow f(v,v)>0\\
& v\in W \Rightarrow f(v,v)\leq 0
\end{align*}
לכן q=s וגם p=r, כנדרש.