קבעו בעזרת משפט דלמבר, היכן הטור הבא מתכנס במידה שווה והיכן סכום הטור הוא פונקציה רציפה.
הטור הנתון הינו:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}(x-1)^n
נחשב את רדיוס ההתכנסות בעזרת משפט דלמבר:
R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}\frac{n+1}{\ln(n+1)}
נשים לב כי מתקיים:
\frac{n\ln(n)}{n\ln(n+1)}\leq\frac{(n+1)\ln(n)}{n\ln(n+1)}\leq\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln(n+1)}
נשים לב כי מתקיים:
\lim_{n+1}\frac{n\ln(n)}{n\ln(n+1)}=1,\quad\lim_{n\infty}\frac{n+1}{n}=1
לכן, לפי משפט הסנדוויץ מתקיים:
R=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\ln(n)}{n\ln(n+1)}=1
כלומר הטור מתכנס ב-(0,2) .נבדוק בקצוות:
- בנקודה x=0 מתקבל טור לייבניץ שמתכנס.
- בנקודה x=2 מתקבל טור הרמוני שמתבדר.
מכאן נוכל להסיק כי שהטור מתכנס בטווח [0,2) ושם הסכום רציף לפי משפט.