מהי אסימפטוטה אופקית? כיצד עלי למצוא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה הבאה:
f(x)=\frac{2^x}{2^x+1}
הגדרות
הגדרה: ישר y=b נקרא אסימפטוטה אופקית של פונקציה f כאשר x\to\infty, אם f שואף ל-b כאשר x שואף לאינסוף, כלומר מתקיים:
\lim_{x\to\infty}f(x)=b
במקום לומר “אסימפטוטה אופקית כאשר x\to\infty”, ניתן לומר בקצרה “אסימפטוטה אופקית באינסוף”.
הגדרה: ישר y=b נקרא אסימפטוטה אופקית של פונקציה f כאשר x\to-\infty, אם f שואף ל-b כאשר x שואף למינוס אינסוף, כלומר מתקיים:
\lim_{x-\to\infty}f(x)=b
במקום לומר “אסימפטוטה אופקית כאשר x\to-\infty”, ניתן לומר בקצרה “אסימפטוטה אופקית במינוס אינסוף”.
מציאת אסימפטוטות אופקיות של פונקציה
במידה ונתונה פונקציה ממשית f(x) שתחום הגדרתה מכיל קרן x>C, אז כדי לחקור את קיום אסימפטוטה אופקית לפונקציה זו באינסוף, יש לחשב לפי הגדרה את הגבול \lim_{x\to\infty}f(x)=b. במידה והגבול קיים ויש לו ערך סופי b, אזי הישר y=b הוא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f באינסוף. אם הגבול אינו קיים או שהוא אינסופי, אזי לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית באינסוף. בדומה מחפשים אסימפטוטה אופקית במינוס אינסוף.
דוגמה
נמצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה:
f(x)=\frac{2^x}{2^x+1}
בהסתמך על הגבולות הידועים \lim_{x\to\infty}2^{-x}=\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0 וחוקי הגבולות נוכל לחשב את הגבולות של הפונקציה הנתונה:
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}f(x)&=\lim_{x\to\infty}\frac{2^x}{2^x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+2^{-x}}=\frac{1}{1+0}=1\\
\lim_{x\to-\infty}f(x)&=\lim_{x\to-\infty}\frac{2^x}{2^x+1}=\frac{0}{0+1}=0
\end{align*}
לכן, לפי ההגדרה של אסימפטוטה אופקית, נוכל להסיק כי הישר y=1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הנתונה באינסוף והישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הנתונה במינוס אינסוף.