מהי אסימפטוטה משופעת? כיצד עלי למצוא את האסימפטוטות המשופעות של הפונקציה הבאה:
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+e^{-\frac{1}{x^2}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{matrix}\right.
הגדרות
הגדרה: ישר משופע y=ax+b (כאשר a\neq 0) נקרא אסימפטוטה משופעת של פונקציה f כאשר x\to\infty, אם פונקציית ההפרש r(x)=f(x)-y שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף, כלומר מתקיים:
\lim_{x\to\infty}r(x)=\lim_{x\to\infty}(f(x)-y)=0
במקום לומר “אסימפטוטה משופעת כאשר x\to\infty, ניתן לומר בקצרה " אסימפטוטה משופעת באינסוף”.
הגדרה: ישר משופע y=ax+b (כאשר a\neq 0) נקרא אסימפטוטה משופעת של פונקציה f כאשר x\to-\infty, אם פונקציית ההפרש r(x)=f(x)-y שואפת ל-0 כאשר x שואף למינוס אינסוף, כלומר מתקיים:
\lim_{x\to-\infty}r(x)=\lim_{x\to-\infty}(f(x)-y)=0
במקום לומר “אסימפטוטה משופעת כאשר x\to-\infty, ניתן לומר בקצרה " אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף”.
מציאת אסימפטוטות משופעת של פונקציה
דרך אחת למציאת אסימפטוטה משופעת של פונקציה f(x) היא לנסות להציג אותה בצורה f(x)=ax+b+r(x) כאשר a\neq0 והפונקציה r(x) שואפת לאפס כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף. אזי לפי ההגדרה הישר y=ax+b הוא אסימפטוטה משופעת של f באינסוף או במינוס אינסוף (בהתאמה).
דרך נוספת לחשב את אסימפטוטה משופעת של פונקציה f(x) היא לחפש את המקדמים a,b במשוואת האסימפטוטה y=ax+b באינסוף או במינוס אינסוף, בעזרת הנוסחאות הבאות (בהתאם למקרה):
\left\{\begin{matrix}
a=\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}\\
b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
\end{matrix}\right.
\left\{\begin{matrix}
a=\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}\\
b=\lim_{x\to-\infty}(f(x)-ax)
\end{matrix}\right.
דוגמה
נמצא את האסימפטוטות המשופעות של הפונקציה:
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+e^{-\frac{1}{x^2}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{matrix}\right.
בהסתמך על הגבולות הידועים \lim_{x\to\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=0 וגם \lim_{x\to\infty}e^{-\frac{1}{x^2}}=1 וכן חוקי הגבולות נקבל:
\begin{align*}
a&=\lim_{x\to\infty}\frac{x+e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}\right)=1+0=1\\
b&=\lim_{x\to\infty}\left(x+e^{-\frac{1}{x^2}}-x \right )=\lim_{x\to\infty}e^{-\frac{1}{x^2}}=1
\end{align*}
לכן, לפי ההגדרה של אסימפטוטה משופעת נוכל להסיק כי הישר y=x+1 הוא אסימפטוטה משופעת של הפונקציה הנתונה באינסוף.
בהסתמך על הגבולות הידועים \lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=0 וגם \lim_{x\to-\infty}e^{-\frac{1}{x^2}}=1 וכן חוקי הגבולות נקבל:
\begin{align*}
a&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x+e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}\right)=1+0=1\\
b&=\lim_{x\to-\infty}\left(x+e^{-\frac{1}{x^2}}-x \right )=\lim_{x\to-\infty}e^{-\frac{1}{x^2}}=1
\end{align*}
לכן, לפי ההגדרה של אסימפטוטה משופעת נוכל להסיק כי הישר y=x+1 הוא אסימפטוטה משופעת של הפונקציה הנתונה במינוס אינסוף.