מהי אסימפטוטה אנכית? כיצד עלי למצוא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הבאה:
f(x)=e^{\frac{1}{x}}
הגדרות
הגדרה: ישר x=x_0 נקרא אסימפטוטה אנכית לפונקציה f(x) אם לפחות אחד מהגבולות החד-צדדיים של f(x) בנקודה x_0, כלומר לפחות אחד מבין הגבולות \lim_{x\to x_0^-}f(x) ו-\lim_{x\to x_0^+}f(x) שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.
מציאת אסימפטוטות אנכיות של פונקציה
כדי למצוא אסימפטוטה אנכית של פונקציה, בודקים את הגבולות המתקבלים בנקודות שבהם הפונקציה אינה מוגדרת. למשל, עבור הפונקציה f(x)=\frac{1}{x} נבדוק את הישר x=0 שכן בנקודה זו, הפונקציה f אינה מוגדרת (תחום הגדרתה הינו כל x ששונה מאפס).
דוגמה
נמצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה:
f(x)=e^{\frac{1}{x}}
תחום הגדרתה של הפונקציה f הינו כל x ששונה מאפס. נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
\lim_{x\to0^+}f(x)&=\lim_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}=\infty\\
\lim_{x\to0^-}f(x)&=\lim_{x\to0^-}e^{\frac{1}{x}}=0
\end{align*}
מאחר ומתקיים \lim_{x\to0^+}f(x)=\infty, נובע כי הישר x=0 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה הנתונה.