הוכיחו את הטענה הבאה: אם \alpha ו-\beta הם חתכי דדקינד אז \alpha+\beta הוא חתך דדקינד כאשר מתקיים:
\alpha+\beta = \{r_1+r_2\,:\,r_1\in\alpha \wedge r_2\in\beta\}
חתך דדקינד היא חלוקה של קבוצת מספרים הרציונליים \mathbb{Q} לשתי תת-קבוצות \alpha ו-\beta כך שמתקיים:
- הקבוצה \alpha היא לא ריקה ולא קבוצת המספרים הרציונליים (לחלופין \beta לא ריקה).
- אם x,y\in\mathbb{Q} כאשר x<y וגם y\in \alpha אז x\in \alpha.
- אם x\in\alpha אז קיים y\in \alpha המקיים y>x.
נוכיח את המשפט: יהיו \alpha,\beta\subseteq \mathbb {Q} חתכי דדקינד. כדי להראות כי \alpha+\beta הוא חתך דדקינד, עלינו לאמת את שלושת המאפיינים.
ראשית, נראה כי \alpha+\beta היא תת-קבוצה לא ריקה של \mathbb{Q}. נשים לב כי \alpha ו-\beta הם חתכי דדקינד ולכן ע"פ ההגדרה הם אינם רקים. מכך נובע כי קיימים r_1\in \alpha ו-r_2\in\beta ולכן r_1+r_2\in\alpha+\beta, כלומר \alpha+\beta אינו ריק. כמו כן, נשים לב כי \alpha ו-\beta הם חתכי דדקינד ולכן ע"פ ההגדרה הם אינם \mathbb{Q}. מכך נובע כי קיימים M_1\in \mathbb{Q} ו-M_2\in\mathbb{Q} המקיימים M_1\not\in\alpha ו-M_2\not\in\beta בהתאמה. נטען כי לכל r_1\in\alpha מתקיים r_1<M_1 ולכל r_2\in\beta מתקיים r_2<M_2. זה בגלל שברור שאנחנו לא יכולים לקבל r_1=M_1 או r_2=M_2 תחת ההנחה כי M_1\not\in\alpha ו-M_2\not\in\beta. כמו כן, אנו לא יכולים לקבל r_1>M_1 שכן מאפיין 2 של חתכי דדקינד מחייב M_1\in\alpha. באותו אופן, אנו לא יכולים לקבל r_2>M_2 שכן מאפיין 2 של חתכי דדקינד מחייב M_2\in\beta. לכן בהכרח לכל r_1\in\alpha מתקיים r_1<M_1 ולכל r_2\in\beta מתקיים r_2<M_2. לפיכך נקבל r_1+r_2<M_1+M_2. מאחר ו-r_1 ו-r_2 נבחרו שרירותית נובע כי לכל s\in\alpha+\beta מתקיים s < M_1 + M_2. בפרט, נוכל להסיק כי M_1+M_2\not\in\alpha+\beta. מכך נובע כי \alpha+\beta היא אכן תת-קבוצה ראויה של \mathbb{Q}.
כעת, נראה את מאפיין 2 עבור \alpha+\beta. לשם כך, עלינו להראות כי אם s_1\in\alpha+\beta וגם s_2\in\mathbb{Q} כאשר s_2<s_1 אז s_2\in\alpha+\beta. כדי להראות זאת, נגדיר s_1=r_1+r_2\in\alpha+\beta כאשר r_1\in \alpha ו-r_2\in\beta. כמו כן, יהי s_2\in\mathbb{Q} כך שמתקיים s_2<s_1. מכך נוכל להסיק כי מתקיים s_2<r_1+r_2 ולכן s_2-r_2<r_1. מאחר ו-\alpha הוא חתך דדקינד ולכן מקיים את מאפיין 2 נובע s_2-r_2\in\alpha. מכך נובע (s_2-r_2)+r_2\in\alpha+\beta כלומר s_2\in\alpha+\beta.
לבסוף, נראה את מאפיין 3 עבור \alpha+\beta. לשם כך, יהי s_1\in\alpha+\beta. נראה כי קיים s_2\in\alpha+\beta עבורו s_1>s_1. אם s_1=r_1+r_2 כאשר r_1\in\alpha ו-r_2\in\beta אז מאחר ו-\alpha הוא חתך דדקינד ולכן מקיים את מאפיין 3, נובע כי קיים r_1'\in\alpha כך שמתקיים r_1'>r_1. אם נגדיר s_2=r_1'+r_2 אז נקבל s_2\in\alpha+\beta כאשר s_2>s_1 ולכן מתקיים מאפיין 3 עבור \alpha+\beta.