הוכיחו את האי-שוויון הבא בעזרת סכום דרבו:
\left(\frac{1}{1+0.25^2}+\frac{1}{1+0.5^2}+\frac{1}{1+0.75^2}+\frac{1}{2}\right)\leq\pi\leq\left(1+\frac{1}{1+0.25^2}+\frac{1}{1+0.5^2}+\frac{1}{1+0.75^2}\right)
נתבונן על החלוקה T:0<0.25<0.5<0.75<1 של הקטע [0,1]. נגדיר פונקציה f(x)=\frac{1}{1+x^2} בקטע [0,1]. זוהי פונקציה רציפה בקטע הנ"ל ולכן אינטגרבילית בו. נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
S_1(T)&=\sum_{k=1}^4\inf_{x\in I_k}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\cdot\Delta x_k\\
&=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1+0.25^2}+\frac{1}{1+0.5^2}+\frac{1}{1+0.75^2}+\frac{1}{2}\right)
\end{align*}
כלומר זהו סכום דרבו התחתון של הפונקציה עבור החלוקה הנ"ל. הפונקציה מונוטונית יורדת ולכן האינפימום של הפונקציה בכל תת קטע מתקבל בקצה הימני שלו.
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
S_2(T)&=\sum_{k=1}^4\sup_{x\in I_k}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\cdot\Delta x_k\\
&=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1+0.25^2}+\frac{1}{1+0.5^2}+\frac{1}{1+0.75^2}\right)
\end{align*}
כלומר זהו סכום דרבו העליון של הפונקציה עבור החלוקה הנ"ל. הפונקציה מונוטונית יורדת ולכן הסופרימום של הפונקציה בכל תת קטע מתקבל בקצה השמאלי שלו.
בנוסף לכך, מתקיים:
\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)|_0^1=\frac{\pi}{4}
כמו כן, מתקיים S_1(T)\leq\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\leq S_2(T), כלומר נקבל:
\left(\frac{1}{1+0.25^2}+\frac{1}{1+0.5^2}+\frac{1}{1+0.75^2}+\frac{1}{2}\right)\leq\frac{\pi}{4}\leq\left(1+\frac{1}{1+0.25^2}+\frac{1}{1+0.5^2}+\frac{1}{1+0.75^2}\right)
נכפול את האי-שוויון ב-4 ונקבל את התוצאה המבוקשת.