כיצד מחשבים את האינטגרל של סינוס בריבוע איקס, כלומר את האינטגרל הבא:
\int \sin^2(x)dx
אפשר להשתמש בזהות הטריגונומטרית הבאה:
\sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))
נציב באינטגרל, כך שנקבל:
\begin{align*}
\int\sin^2(x)dx&=\int\frac{1}{2}(1-\cos(2x))dx\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2}+C\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+C
\end{align*}
כאשר השתמשנו בכך שמתקיים \int adx=ax+C וגם \int \cos(a\cdot x)dx=\frac{\sin(a\cdot x)}{a}+C.
אפשר להשתמש באינטגרציה בחלקים ובזהות הטריגונומטרית \sin^2(x)+\cos^2(x)=1. נגדיר: f(x)=\sin(x) וגם g(x)=-\cos(x). לפיכך נקבל f'(x)=\cos(x) וגם g'(x)=\sin(x). ע"פ שיטת אינטגרציה בחלקים נקבל:
\begin{align*}
\int \sin^2(x)dx&=\int\sin(x)\sin(x)dx\\
&=\int f(x)\cdot g'(x)dx\\
&=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx\\
&=\sin(x)(-\cos(x))-\int\cos(x)(-\cos(x))dx\\
&=-\sin(x)\cos(x)+\int\cos^2(x)dx\\
&=-\sin(x)\cos(x)+\int(1-\sin^2(x))dx\\
&=-\sin(x)\cos(x)+\int1dx-\int\sin^2(x)dx\\
\end{align*}
נעביר אגפים, כך שנקבל:
2\int\sin^2(x)dx=-\sin(x)\cos(x)+\int 1dx\Leftrightarrow \int\sin^2(x)dx=-\frac{1}{2}\sin(x)\cos(x)+\frac{x}{2}+C
כדי לקבל את התשובה של @CommunityBot, אפשר להשתמש בזהות הטריגונומטרית של זווית כפולה:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)
כך שנקבל:
\int\sin^2(x)dx=-\frac{\sin(2x)}{4}+\frac{x}{2}+C
אפשר להשתמש בקשר לפונקציה המעריכית המרוכבת:
\sin (x) = \frac {e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
לכן נקבל:
\sin^2 (x) = \frac {e^{2ix} + e^{-2ix}-2}{-4} = -\frac {e^{2ix}}{4} - \frac {e^{-2ix}}{4} +\frac{1}{2}
נחשב את האינטגרל:
\begin{align*}
\int\sin^2(x)dx&=\int\left(-\frac {e^{2ix}}{4} - \frac {e^{-2ix}}{4} +\frac{1}{2}\ \right)dx\\
&=\frac {-e^{2ix} + e^{-2ix}}{8} + \frac{1}{2} x +C\\
&=-\frac {\sin (2x)}{4} + \frac{1}{2} x+C
\end{align*}
נסמן I=\int \sin^2(x)dx וגם J=\int \cos^2(x)dx. לכך נקבל (נשתמש בזהות \sin^2(x)+\cos^2(x)=1):
I+J=\int (\sin^2(x)+\cos^2(x))dx=\int 1dx=x+C_1
כמו כן, נקבל (נשתמש בזהות \cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)):
J-I=\int(\cos^2(x)-\sin^2(x))dx=\int\cos(2x)dx=\frac{1}{2}\sin(2x)+C_2
נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה כך שנקבל:
2I=x-\frac{1}{2}\sin(2x)+C\Leftrightarrow I=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)+C
מכך נובע:
\int\sin^2(x)dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)+C