לרשותו של אדם צרור עם 7 מפתחות שרק אחד מהם פותח את הדלת. הסיכוי שהדלת נעולה הוא 3/4.
א. מה ההסתברות שהאדם יצליח להיכנס דרך הדלת אם מותר לו להשתמש לכל היותר במפתח אחד?
ב. כנ"ל, אבל מותר לו להשתמש בשני מפתחות לכל היותר.
סעיף א
עץ ההחלטות נראה כך:
- אם הדלת לא נעולה אז סיימנו.
- אם הדלת נעולה אז:
- המפתח הנבחר פותח את הדלת וסיימנו.
- המפתח הנבחר לא פותח את הדלת וסיימנו.
לכן ההסתברות שהאדם יצליח להיכנס דרך הדלת אם מותר לו להשתמש לכל היותר במפתח אחד שווה להסתברות של דלת לא נעולה ועוד ההסתברות שהדלת נעולה וגם שהמפתח הנבחר פותח את הדלת. ההסתברות שהדלת נעולה היא 3/4 ולכן ההסתברות שהדלת לא נעולה היא 1/4. כמו כן, ההסתברות להוציא את המפתח הנכון מהצרור שמכיל שבעה מפתחות היא 1/7. לכן נקבל:
P=P_1+P_2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{7}=\frac{5}{14}
כלומר, ההסתברות שהאדם יצליח להיכנס דרך הדלת אם מותר לו להשתמש לכל היותר במפתח אחד היא 5/14.
סעיף ב
עץ ההחלטות נראה כך:
- אם הדלת לא נעולה אז סיימנו.
- אם הדלת נעולה אז:
- אם המפתח הראשון שנבחר פותח את הדלת אז סיימנו.
- אם המפתח הראשון שנבחר לא פותח את הדלת אז:
- המפתח השני שנבחר פותח את הדלת וסיימנו.
- המפתח השני שנבחר לא פותח את הדלת וסיימנו.
לכן ההסתברות שהאדם יצליח להיכנס דרך הדלת אם מותר לו להשתמש לכל היותר בשני מפתחות שווה להסתברות של דלת לא נעולה ועוד ההסתברות שהדלת נעולה וגם שהמפתח הראשון שנבחר פותח את הדלת ועוד ההסתברות שהדלת נעולה וגם שהמפתח הראשון שנבחר לא פותח את הדלת וגם שהמפתח השני שנבחר כן פותח את הדלת. ההסתברות שהדלת נעולה היא 3/4 ולכן ההסתברות שהדלת לא נעולה היא 1/4. כמו כן, ההסתברות להוציא את המפתח הנכון בפעם הראשונה מהצרור שמכיל שבעה מפתחות היא 1/7. בנוסף לכך, ההסתברות להוציא את המפתח הנכון מהצרור בפעם השנייה מהצרור שמכיל שישה מפחות היא 1/6. לכן נקבל:
P=P_1+P_2+P_3=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{7}+\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{6}=\frac{13}{28}
כלומר, ההסתברות שהאדם יצליח להיכנס דרך הדלת אם מותר לו להשתמש לכל היותר בשני מפתחות הינה 13/28.