לפו הדוב יש שמונה חברים: כריסטופר רובין, איה, שפן, קנגה, רו, ינשוף, נמיר, ושלגיה. בכל ערב הוא מזמין בדיוק ארבעה חברים לארוחת ערב. פו הבטיח שכל חבר יוזמן לפחות פעם אחת. בכמה דרכים יכול פו להזמין את חבריו לארוחות ערב במשך שבעה ערבים רצופים, ועדיין לקיים את הבטחתו?
נפתור בעזרת עקרון הכלה והפרדה:
- עולם: בכל ערב, פו הדוב צריך לבחור 4 חברים מתוך 8 ב-C_{8}^{4} אפשרויות. יש שבעה ערבים ולכן סה"כ:
W(0)=\left(C_{8}^{4}\right)^{7}={8 \choose 4}^{7}
- תכונות: יהיו 8 תכונות רעות, כך שמשמעות תכונה p_{i} היא שדמות 1\leq i\leq8 לא הוזמנה לארוחת הערב.
- יעד: מאחר ומדובר בתכונות רעות, עלינו למצוא את E(0). נניח כי r תכונות מתקיימות ולכן r דמויות לא הוזמנו לארוחת ערב. מתוך 8-r הדמויות, נבחר את 4 דמויות שיגיעו לארוחת ערב ב-C_{8-r}^{4} אפשרויות. יש 7 ימים ולכן סה"כ נקבל:
W(p_{1},...,p_{r})=\left(C_{8-r}^{4}\right)^{7}\Rightarrow W(r)={8 \choose r}\cdot\left(C_{8-r}^{4}\right)^{7}
סה"כ נקבל:
E(0)=\sum_{r=0}^{8}(-1)^{r}\cdot W(r)=\sum_{r=0}^{8}(-1)^{r}\cdot{8 \choose r}\cdot\left(C_{8-r}^{4}\right)^{7}