פתרו, בעזרת פונקציות יוצרות, את נוסחת הנסיגה הבאה:
a_{n}=2a_{n-1}+2,\,\,\,a_{0}=1
נכפול את צידי משוואת הנסיגה ב-x^{n}:
a_{n}x^{n}=2a_{n-1}x^{n}+2x^{n}
נסכום ע"פ הערכים החוקיים של n\geq1:
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2a_{n-1}x^{n}+2x^{n}\right)\,\,\,(1)
נגדיר f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}. נתבונן על צד שמאל של המשוואה (1), כך שנקבל:
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-a_{0}=f(x)-1
עתה, נתבונן על צד ימין של המשוואה (1), כך שנקבל:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2a_{n-1}x^{n}+2x^{n}\right)&=2\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n}+2\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\\&=2x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}-2\\&=2xf(x)+\frac{2}{1-x}-2
\end{align*}
נציב במשוואה (1):
\begin{align*}
f(x)-1=2xf(x)+\frac{2}{1-x}-2&\Leftrightarrow(1-2x)f(x)=\frac{2}{1-x}-1\\&\Leftrightarrow f(x)=\frac{2-(1-x)}{(1-x)(1-2x)}\\&\Leftrightarrow f(x)=\frac{x+1}{(1-x)(1-2x)}
\end{align*}
נפרק לגורמים חלקיים - יהיו A,B כך שמתקיים:
\begin{align*}
\frac{x+1}{(1-x)(1-2x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}&\Leftrightarrow x+1=A(1-2x)+B(1-x)\\&\Leftrightarrow x+1=-(2A+B)x+(A+B)
\end{align*}
לכן נקבל את מערכת המשוואות הבאה:
\begin{cases}
A+B=1\\
-2A-B=1
\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}
A=-2\\
B=3
\end{cases}
כלומר קיבלנו כי מתקיים:
\begin{align*}
f(x)&=\frac{x+1}{(1-x)(1-2x)}=-\frac{2}{1-x}+\frac{3}{1-2x}\\&=-2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}+3\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(3\cdot2^{n}-2)\cdot x^{n}
\end{align*}
המקדם של x^{n} הוא 3\cdot2^{n}-2 ולכן a_{n}=3\cdot2^{n}-2.