פתרו את השאלה הבאה:
הוכיחו/הפריכו את הטענה הבאה: הקבוצה T=\left\{ 2,3\right\} ^{\mathbb{N}} היא בת מניה.
הטענה אינה נכונה. נוכיח כי T אינה בת מניה. נניח בשלילה שהיא כן בת מניה. לכן קיימת פונקציה h\,:\,T\to\mathbb{N} חח"ע. לכן לפי משפט, קיימת פונקציה g\,:\,\mathbb{N}\to T על. נוכיח כי g אינה על T. נגדיר פונקציה f\,:\,\mathbb{N}\to\{2,3\} המוגדרת באופן הבא:
f(n)=\begin{cases}
2 & g(n)(n)=3\\
3 & g(n)(n)=2
\end{cases}
נוכיח כי f\in T. לשם כך עלינו להראות כי הפונקציה f מוגדרת היטב.
- נוכיח קיום: יהי n\in\mathbb{N} כלשהו. נשים לב כי g היא פונקציה מוגדרת היטב ולכן g(n) קיים. כמו כן, g(n) היא פונקציה מוגדרת היטב (כי היא איבר ב-T) ולכן g(n)(n) קיים והוא שווה ל-2 או $3 $מהגדרת T. לכן הפונקציה f קיימת.
- נוכיח יחידות: הפונקציה g(n) מקיימת יחידות ולכן g(n)(n) הוא יחיד אשר שווה ל-2 או ל-3. לכן גם הפונקציה f מקיימת יחידות.
הפונקציה g על ולכן לכל t\in T קיים n\in\mathbb{N} כך שמתקיים g(n)=t. יהי c\in\mathbb{N} עבורו מתקיים g(c)=f. נתבונן על g(c)(c):
- אם g(c)(c)=2 אז לפי g(c)=f נקבל f(c)=2. ע"פ הגדרת הפונקציה f נקבל g(c)(c)=3. קיבלנו סתירה.
- אם g(c)(c)=3 אז לפי g(c)=f נקבל f(c)=3. ע"פ הגדרת הפונקציה f נקבל g(c)(c)=2. קיבלנו סתירה.
לכן, קיבלנו כי לא קיים c\in\mathbb{N} עבורו g(c)=f ולכן g אינה על, סתירה. לכן T אינה בת מניה.