בעזרת הגדרת הגבול לפי קושי, הוכיחו שהגבול של הסדרה a_n=\frac{2n-1}{3n} הוא \frac{2}{3}.
יהי \varepsilon>0. ע"פ הגדרת הגבול לפי קושי (הגדרת הגבול באפסילון ודלתא), נרצה להראות שקיים n_0 כך שלכל n\geq n_0 מתקיים:
\bigg|\frac{2n-1}{3n}-\frac{2}{3}\bigg|<\varepsilon
נשים לב כי מתקיים:
\bigg|\frac{2n-1}{3n}-\frac{2}{3}\bigg|=\bigg|\frac{2n}{3n}-\frac{1}{3n}-\frac{2}{3}\bigg|=\frac{1}{3n}
לכן מתקיים:
\bigg|\frac{2n-1}{3n}-\frac{2}{3}\bigg|>\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{3n}<\varepsilon
נבחר n_0>\frac{1}{3\varepsilon} ואכן יתקיים כי לכל n\geq n_0 מתקיים:
\bigg|\frac{2n-1}{3n}-\frac{2}{3}\bigg|=\frac{1}{3n}\leq \frac{1}{3n_0}<\varepsilon
לכן, ע"פ הגדרת הגבול לפי קושי נובע כי הסדרה הנתונה a_n מתכנסת ל-2/3, כנדרש.