הוכיחו את האי-שוויון הבא:
\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}
כאשר x,y הם מספרים חיוביים, כלומר מתקיים x,y>0.
נכפול את שני צדי האי-שוויון ב-\sqrt{xy} כך שנקבל:
x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\geq x\sqrt{y}+y\sqrt{x}
נעביר אגפים ונקבל:
\begin{align*}
x\sqrt{x}+y\sqrt{y}- x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\geq0&\Leftrightarrow x(\sqrt{x}-\sqrt{y})-y(\sqrt{x}-\sqrt{y})\geq 0\\
&\Leftrightarrow (x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})\geq 0
\end{align*}
אם x=y אז כמובן שהאי-שוויון מתקיים (למעשה מתקיים שוויון). בלי הגבלת הכלליות, נניח כי מתקיים x>y. מאחר ומתקיים x,y>0 נקבל \sqrt{x}>\sqrt{y}. לפיכך נובע x-y>0 וגם \sqrt{x}-\sqrt{y}>0 ולכן האי-שוויון האחרון מתקיים, כנדרש.
אפשר לעשות את מה ש- @Ben עשה, אבל בצורה קצת שונה:
\begin{align}
\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}&=\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}}\\
&=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}}\ge 0
\end{align}
נעביר אגפים, כך שנקבל את האי-שוויון המבוקש:
\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}
אפשר בעזרת אי-שוויון סדראקיאן (נקרא גם אי-שוויון טיטו) שהוא מקרה פרטי של אי-שוויון קושי-שוורץ: לכל a_1,\ldots, a_n ו-b_1,\ldots,b_n מספרים חיוביים ממשיים מתקיים:
\frac{a_1^2}{b_1}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n^2}\geq\frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{b_1+\ldots+b_n}
במקרה שלנו, נסמן a_1=b_2=\sqrt{x} וגם a_2=b_1=\sqrt{y}. לכן ע"פ אי-שוויון סדראקיאן נקבל:
\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\leq\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{y}}+\frac{\left(\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}}
נפתח את הביטוי בצד שמאל:
\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}
נפתח את הביטוי בצד ימין:
\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{y}}+\frac{\left(\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}
סה"כ נקבל:
\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}
כנדרש.
נסמן \sqrt x=u וגם \sqrt y=v. לכן האי-שוויון המבוקש, שקול לאי-שוויון הבא:
{u^2\over v}+{v^2\over u}\ge u+v
מאחר ומתקיים x,y>0 נובע u,v>0. לכן נקבל:
\begin{align}
{u^2\over v}+{v^2\over u}\ge u+v&\iff u^3+v^3\ge u^2v+v^2u\\
&\iff u^2(u-v)+v^2(v-u)\ge 0\\
&\iff (u^2-v^2)(u-v)\ge0\\
&\iff (u+v)(u-v)^2\ge0
\end{align}
מאחר ומתקיים u,v>0 נובע u+v>0 וגם (u-v)^2>0 ולכן האי-שוויון המבוקש מתקיים.
הטיעון הבסיסי כאן אינו שונה מאשר בחלק מהתשובות האחרות שמופיעות כאן. אך לדעתי בצורה כזאת, קל יותר לראות מה קורה, ולהימנע מטעויות (על-ידי צמצום סמלים של שורשים).