אביב בונה סדרה של פירמידות מתפוזים. כל פירמידה בנויה מריבועים של תפוזים המונחים זה על גבי זה. בפירמידה הראשונה יש תפוז אחד, בשנייה יש 5, בשלישית יש 14, וכן הלאה. כמה תפוזים בערך יש בפירמידה מספר 2022?
כל שכבה i בפירמידה מספר n מכילה i^2 תפוזים. כלומר, בשכבה הראשונה של הפירמידה יש 1^2=1 תפוזים, בשכבה השנייה של הפירמידה יש 4^2=2 תפוזים, בשכבה השלישית של הפירמידה יש 9^2=3 תפוזים וכך הלאה. לכן, מספר התפוזים הכולל בפירמידה מספר n הוא סוכם התפוזים בכל שכבה, כלומר \sum_{i=1}^{n}i^2. לדוגמה, מספר התפוזים בפירמידה מספר 3 הוא:
\sum_{i=1}^{3}i^2=1^2+2^2+3^2=1+4+9=14
כלומר 14 תפוזים.
אנו מעוניינים למצוא את מספר התפוזים בפירמידה מספר n=2022 ולכן נרצה לחשב את הסכום הבא:
\sum_{i=1}^{2022}i^2
נשתמש בזהות הידועה הבאה: לכל n טבעי מתקיים:
\sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
ניתן להוכיח זהות זו באינדוקציה.
לכן, במקרה שלנו נקבל:
\sum_{i=1}^{2022}i^2=\frac{2022\cdot(2022+1)(2\cdot2022+1)}{6}=2,757,682,795
כלומר, מספר התפוזים הכולל בפירמידה מספר 2022 הינו 2,757,682,795.