מבין כל שלשות המספרים החיוביים שמכפלתם 192, ושאחד מהם גדול פי שניים מהשני, מצא את שלושת המספרים שסכומם מינימלי.
יהיו x,y,z שלושה מספרים חיוביים שמכפלתם 192 ואחד מהם גדול פי שניים מהשני. בלי הגבלת הכלליות, נניח כי y גדול פי שניים מאשר x ולכן y=2x. קיבלנו שלושה מספרים חיוביים x,2x,z שמכפלתם 192 ולכן נקבל:
x\cdot (2x)\cdot z=192\Leftrightarrow x^2\cdot z=96\Leftrightarrow z=\frac{96}{x^2}
אנו מעוניינים למצוא את שלושת המספרים x,y,z שסכומם מינימלי, ולכן נגדיר את הפונקציה הבאה:
f(x)=x+y+z=x+2x+\frac{96}{x^2}=3x+\frac{96}{x^2}
נגזור את הפונקציה, כך שנקבל:
f'(x)=3-\frac{192}{x^3}
נמצא נקודות חשודות לקיצון:
f'(x)=0\Leftrightarrow 3-\frac{192}{x^3}=0\Leftrightarrow x^3=64\Leftrightarrow x=4
כלומר x=4 נקודה חשודה לקיצון.
נגזור שוב, כך שנקבל את הנגזרת השנייה:
f''(x)=\frac{576}{x^4}
נציב x=4 כך שנקבל:
f''(x)=\frac{576}{4^4}=2.25>0
לכן מתקבלת נקודת קיצון מסוג מינימום. נציב את x=4 כדי לחשב את שני המספרים האחרים:
\left\{\begin{matrix}
y=2x=2\cdot 4=8 & \\
z=\frac{96}{x^3}=\frac{96}{4^2}=6 & \\
\end{matrix}\right.
לכן, מבין כל שלשות המספרים החיוביים שמכפלתם 192, ושאחד מהם גדול פי שניים מהשני, שלושת המספרים שסכומם מינימלי הם:
(x,y,z)=(4,8,6)