תהי T\,:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n העתקה לינארית אשר מקיימת T^2=I כאשר I\,:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n היא העתקת הזהות. הוכיחו כי ההעתקה ההלינארית T היא לכסינה.
תחילה נוכיח כי מתקיים \text{Ker}(T-I)\cap \text{Im}(T-I)=\{0\}. יהי v\in\text{Ker}(T-I)\cap \text{Im}(T-I). לכן מתקיים (T-I)v=Tv-v=0, כלומר Tv=v. אך, גם קיים u\in\mathbb{R}^n שעבורו מתקיים (T-I)u=v, כלומר Tu=u+v. נשים לב כי מתקיים:
u=Iu=T^2u=T(Tu)=T(u+v)=Tu+Tv=u+v+v=u+2v
מכך נובע 2v=0, כלומר v=0. לפיכך נקבל:
\text{Ker}(T-I)\cap \text{Im}(T-I)=\{0\}
כעת, נוכיח כי ההעתקה הלינארית T לכסינה. עבור ההעתקה הלינארית T-I מתקיים:
\dim\left(\text{Ker}(T-I)\right)+\dim\left(\text{Im}(T-I)\right)=\dim\left(\mathbb{R}^n\right)=n
מאחר ומתקיים \text{Ker}(T-I)\cap \text{Im}(T-I)=\{0\} נובע:
\mathbb{R}^n=\text{Ker}(T-I)\oplus\text{Im}(T-I)
נשים לב כי המרחב העצמי \text{Ker}(T-I) מתאים לערך העצמי 1. כמו כן, אם v\in\text{Im}(T-I) אז קיים u\in\mathbb{R}^n שעבורו (T-I)u=v, כלומר Tu=u+v. לכן נקבל:
u=Iu=T^2u=T(Tu)=T(u+v)=Tu+Tv=u+v+Tv
לכן נקבל Tv=-v, כלומר \text{Im}(T-I)=\text{Ker}(T+I) וזהו המרחב העצמי המתאים לערך העצמי -1.
סה"כ קיבלנו כי מתקיים \mathbb{R}^n=\text{Ker}(T-I)\oplus\text{Im}(T-I) וגם סכום הריבויים הגיאומטריים של הע"ע 1 ו-(-1) שווה למימד המרחב, ולכן ההעתקה T לכסינה, כנדרש.