יהיו f, g ו-h פונקציות חסומות בקטע [a,b] כך שמתקיים f(x)\leq g(x)\leq h(x) לכל x\in[a,b]. נניח כי f ו-h אינטגרביליות בקטע [a,b] ומתקיים:
\int_a^b f(x)dx=\int_a^b h(x)dx
הוכיחו כי גם g אינטגרבילית בקטע [a,b].
תהא חלוקה P הקטע [a,b] ויהיו S_f(P),S_g(P),S_h(P) הסכומים העליונים של f,g,h עבור החלוקה P, בהתאמה. ע"פ הגדרת סכום עליון ומכך שמתקיים f(x)\leq g(x)\leq h(x) נוכל להסיק כי לכל x\in[a,b] מתקיים S_f(P)\leq S_g(P)\leq S_h(P). לפיכך נקבל:
\overline{\int_{a}^{b}}f(x)dx\leq\overline{\int_{a}^{b}}g(x)dx\leq\overline{\int_{a}^{b}}h(x)dx
נגדיר I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}h(x). לפיכך נקבל I=\overline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=\overline{\int_{a}^{b}}h(x). ע"פ האי-שוויון הקודם, נוכל להסיק כי מתקיים \overline{\int_{a}^{b}}g(x)dx=I. נבצע את אותם החישובים עבור סכומים תחתונים ונקבל \underline{\int_{a}^{b}}g(x)dx=I. ע"פ שני השוויונים האחרונים נקבל כי הפונקציה g אינטגרבילית בקטע הסגור [a,b], כנדרש.