חשבו את האינטגרל של קוסינוס ברביעית, כלומר את האינטגרל הבא:
\int \cos^4(x)dx
ע"פ זהות טריגנומטרית של זווית כפולה נקבל:
\begin{align*}
\cos^4(x) &= \left(\dfrac{1+\cos(2x)}2 \right)^2\\& = \dfrac{1 + \cos^2(2x) + 2\cos(2x)}4\\ & = \dfrac{1 + \dfrac{1+\cos(4x)}2 + 2\cos(2x)}4&\\
&=\dfrac{3 + 4 \cos(2x) + \cos(4x)}8
\end{align*}
לפיכך נקבל:
\begin{align*}
\int\cos^4(x)dx&=\int \left(\dfrac{3 + 4 \cos(2x) + \cos(4x)}8\right)dx\\
&=\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)+C
\end{align*}
אפשר בעזרת נוסחת נסיגה לאינטגרל:
\int\cos^n(x)dx=\frac{\cos^{n-1}(x)\sin (x)}n+\frac{n-1}n \int\cos^{n-2}(x)dx
עבור n=2 מתקיים:
\int\cos^2(x)dx=\frac{\cos (x)\sin (x)}2+\frac12 \int dx=\frac{\cos (x)\sin (x)}{2}+\frac12 x+C
לכן, עבור n=4 נקבל:
\int\cos^4(x)dx=\frac{\cos^3(x)\sin (x)}4+\frac34 \int\cos^2(x)dx
לפיכך נקבל:
\int\cos^4(x)dx=\frac{\cos^3(x)\sin (x)}4+\frac{3\cos (x)\sin (x)}{8}+\frac{3}{8}x +C
בעזרת זהויות טריגונומטריות ניתן להגיע לנוסחה הבאה:
\int\cos^4(x)dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)+C
אפשר בעזרת נוסחה המתקבלת מזהות אוילר:
\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
נציב ונקבל:
\cos^4 (x) = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^4=\frac{1}{16}
\left( e^{4ix} + 4 e^{2ix} + 6 + 4 e^{-2ix} + e^{-4ix} \right)
לפיכך נקבל:
\int \cos^4 (x)dx = \frac{1}{16} \left(-\frac{i}{4} e^{4ix} -2i e^{2ix} + 6 x+ 2i e^{-2ix} +\frac{i}{4} e^{-4ix} \right)+C
כעת, נשתמש בנוסחה נוספת המתקבלת מזהות אוילר:
\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
לכן נקבל:
\int\cos^4(x)dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)+C
נסמן I\triangleq\int\cos^4(x)dx. באופן כללי, ע"פ שיטת אינטגרציה בחלקים מתקיים:
\int f(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx
נסמן g(x)\triangleq\sin(x) וגם f(x)=\cos^3(x). לפיכך נקבל g'(x)=\cos(x) וגם f'(x)=3\cos^2(x)\sin(x). ע"פ שיטת אינטגרציה בחלקים נקבל:
I=\int\cos^4(x)dx=\int\cos^3(x)\cos(x)dx=\cos^3(x)\sin(x)-\int3\cos^2(x)\sin(x)\sin(x)
לפיכך, ע"פ זהויות טריגונומטריות ומכך שמתקיים \int\cos^2(x)dx=\frac{1}{4}(2x+\sin(2x))+C נקבל:
\begin{align*}
I&=\cos^3(x)\sin(x)-\int3\cos^2(x)\sin^2(x)\\
&=\cos^3(x)\sin(x)+3\int\left(1-\cos^2(x)\right)\cos^2(x)dx\\
&=\cos^3(x)\sin(x)+3\int\cos^2(x)dx-3\int\cos^4(x)dx\\
&=\cos^3(x)\sin(x)+\frac{3}{4}(2x+\sin(2x))-3\int\cos^4(x)dx\\
&=\cos^3(x)\sin(x)+\frac{3}{4}(2x+\sin(2x))-3I
\end{align*}
לפיכך נקבל:
4I=\cos^3(x)\sin(x)+\frac{3}{4}(2x+\sin(2x))+C
נחלק ב-4 את צידי השוויון, כך שנקבל:
\begin{align*}
I&=\int\cos^4(x)dx=\frac{1}{4}\cos^3(x)\sin(x)+\frac{3}{16}(2x+\sin(2x))+C\\
&=\frac{1}{4}\cos^3(x)\sin(x)+\frac{3}{16}\sin(2x)+\frac{3}{8}x+C
\end{align*}