שלום לכולם, אשמח לעזרה עם שתי השאלות הבאות:
האם מכפלת מטריצות ריבועיות תמיד הפיכה?
האם מכפלת מטריצות ריבועיות תמיד לא הפיכה?
תודה רבה על כל העזרה!
האם מכפלת מטריצות ריבועיות תמיד הפיכה?
התשובה היא לא, מכפלת מטריצות ריבועיות אינה בהכרח הפיכה. כדי שמטריצה ריבועית תהיה הפיכה, עליה להיות בעלת דטרמיננטה שונה מאפס. אז לדוגמה, ניתן לבחור זוג מטריצות A ו-B להיות מטריצות האפס מסדר 2\times2. מכפלתם היא כמובן מטריצת האפס שהיא כמובן לא הפיכה, מה שסותר את הטענה.
האם מכפלת מטריצות ריבועיות תמיד לא הפיכה?
התשובה גם כאן היא לא, מכפלת מטריצות ריבועיות אינה בהכרח לא הפיכה. כאמור, כדי שמטריצה ריבועית תהיה הפיכה, עליה להיות בעלת דטרמיננטה שונה מאפס. אז לדוגמה, ניתן לבחור זוג מטריצות A ו-B להיות מטריצות היחידה מסדר 2\times2. מכפלתם היא כמובן מטריצת היחידה שהיא כמובן הפיכה, מה שסותר את הטענה.
נציין כי עבור כל אחד מהמקרים, ניתן לבחור דוגמאות יותר מעניינות, אך הדוגמאות שנבחרו מספיקות כדי להפריך כל מקרה.