שלום לכולם,
אשמח לקבל עזרה עם השאלה הבאה:
הצלע BD היא תיכון לצלע AC במשולש ABC.
א. האריכו את הקטע BD כאורכו (BD=DE) ואת הנקודה E חיברו עם הנקודה A ו-C.
הוכיחו כי מתקיים EC\parallel AB וגם EC=AB.
ב. הוכיחו כי מתקיים S_{ABD}=\frac{1}{4}S_{ABCE}.
שרטוט השאלה:
תודה לכולם על העזרה.
היי @Deftera, ברוך הבא לפורום Solx.
אנא קרא את חוקי הפורום. כל שאלה צריכה להופיע באשכול נפרד וזאת בכדי לאפשר חיפוש יעיל בעתיד. לכן אם אתה מעוניין לשאול שאלה נוספת, אנא פתח אשכול חדש. כמו כן, אנא אל תפרסם תמונה אלא תעתיק את השאלה (שוב, מטעמי חיפוש יעיל).
סעיף א’
נתון BD=DE וגם AD=DC. מאחר וכל מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית נובע כי המרובע ABCE הוא מקבילית. לכן, מאחר במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות ושוות נובע כי EC\parallel AE וגם AC=AB, כנדרש.
סעיף ב’
האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה ומחלקים את המקבילית ל-2 זוגות משולשים חופפים, מעבר לכך, כל המשולשים שווים בשטחם. בפרט, ניתן להוכיח כי המשולש ABD חופף למשולש EDC והמשולש AED חופף משולש BDC. לכן נקבל כי שטח המשולש ABD שווה לשטח המשולש EDC וגם שטח המשולש AED שווה לשטח המשולש BDC. כמו כן, תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח (אם אסור לך להשתמש במשפט זה, אפשר פשוט להוריד גובה ולהראות את זה). סה"כ קיבלנו כי ארבעת השטחים שציינו שווחים ולכן מתקיים: